如圖，正方形ABCD與正方形BCEF在同一平面內，則sin∠CAE=．

設函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為

π

2

，函數(shù)y=f（x+

π

2

）為偶函數(shù)．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若α為銳角，f（

α

2

+

π

12

）=

3

5

，求sin2α的值．

已知函數(shù)f（x）=

m

2

x²+2（1-m）x-4lnx（m∈R）．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（2）若對于任意的x∈（0，2]，都有f（x）≥0成立，求實數(shù)m的取值范圍．

如圖，在四棱錐P-ABCD中，側面PAD⊥底面ABCD，側棱PA=PD=

2

，底面ABCD為直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O為AD的中點．
（Ⅰ）求證：PO⊥面ABCD；
（Ⅱ）求異面直線PB與CD所成的角的正切值．

某學校進行自主實驗教育改革，選取甲、乙兩個班做對比實驗，甲班采用傳統(tǒng)教育方式，乙班采用學生自主學習，學生可以針對自己薄弱學科進行練習，教師不做過多干預，兩班人數(shù)相同，為了檢驗教學效果，現(xiàn)從兩班各隨機抽取20名學生的期末總成績，得到以下的莖葉圖：
（I）從莖時圖中直觀上比較兩班的成績總體情況．并對兩種教學方式進行簡單評價；若不低于580分記為優(yōu)秀，填寫下面的2x2列聯(lián)表，根據(jù)這些數(shù)據(jù)，判斷是否有95%的把握認為“成績優(yōu)秀與教學方式有關”，

	甲班	乙班	合計
優(yōu)秀
不優(yōu)秀
合計

（Ⅱ）若從兩個班成績優(yōu)秀的學生中各取一名，則這兩名學生的成績均不低于590分的概率是少
參考公式：K²=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

參考數(shù)據(jù)：

P（K2≥k0）	0.100	0.050	0.025	0.010
k0	2.706	3.841	5.024	6.635

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁（-1，0）、F₂（1，0），且經(jīng)過定點P（1，

3

2

），M（x₀，y₀）為橢圓C上的動點，以點M為圓心，MF₂為半徑作圓M．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若圓M與y軸有兩個不同交點，求點M橫坐標x₀的取值范圍；
（3）是否存在定圓N，使得圓N與圓M恒相切？若存在，求出定圓N的方程；若不存在，請說明理由．

已知函數(shù)f（x）=lnx-ax+1（a＞0）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最大值；
（Ⅱ）若a=

1

2

，且關于x的方程f（x）=-

1

6

x+b在[1，4]上恰有兩個不等的實根，求實數(shù)b的取值范圍；
（Ⅲ）設各項為正數(shù)的數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=lna_n+a_n+2（n∈N^*），求證：a_n≤2ⁿ-1．

已知函數(shù)f（x）=

x+ 4 x +1，x＞0 -x- 4 x +1，x＜0

（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）試用函數(shù)單調性定義說明函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2]和[2，+∞）上的增減性；
（3）若x₁，x₂滿足：1≤|x₁|≤4，1≤|x₂|≤4，試證明：|f（x₁）-f（x₂）|≤1．

計算：

3

3- 3

．

已知函數(shù)f（x）=x-alnx-1（a∈R），g（x）=xe^1-x
（Ⅰ）求g（x）極值；
（Ⅱ）設a=2，函數(shù)h（x）=x³+x²[f′（x）+

m

2

]在區(qū)間（2，3）上不是單調函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍；
（Ⅲ）當a＜0時，若對任意的x₁，x₂∈[3，4]（x₁≠x₂），|f（x₂）-f（x₁）|＜|

1

g(x2)

-

1

g(x1)

|恒成立，求a的最小值．