已知如圖長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=2AA₁=4，E是上底面中心，F(xiàn)，M為A₁B₁與CD的中點．
（Ⅰ）寫出C₁M與平面EFAD的位置關系并證明．
（Ⅱ）求證：平面B₁BAF⊥平面EFAD．
（Ⅲ）求幾何體B₁EF-BDA的表面積．

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）和圓O：x²+y²=b²，過橢圓上一點P引圓O的兩條切線，切點分別為A，B．
（1）若離心率為

5

3

，短軸一個端點到右焦點距離為3，求橢圓C的方程；
（2）若橢圓上存在點P，使得∠APB=90°，求橢圓離心率e的取值范圍；
（3）設直線AB與x軸、y軸分別交于點M，N，求證：

a2

|ON|2

+

b2

|OM|2

為定值．

已知中心在坐標原點，以坐標軸為對稱軸的雙曲線C過點Q（2，

3

3

），且Q點在x軸上的射影恰為該雙曲線的焦點F．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）過雙曲線C的焦點F作與x軸不垂直的任意直線l交雙曲線C于A，B兩點，線段AB的垂直平分線交x軸于點M，問：

|AB|

|FM|

是否為定值？若為定值，請求出這個定值；若不是定值，請說明理由．

已知m∈R，復數(shù)z=（m²-5m+6）+（m²-3m）i．
（1）實數(shù)m取什么值時，復數(shù)z為純虛數(shù)？
（2）實數(shù)m取什么值時，復數(shù)z對應的點在直線y=

1

2

x上？

如圖，在三棱錐P-ABC中，AC=BC，AP=BP，D為AB的中點．
（Ⅰ）求證：AB⊥平面PCD：
（Ⅱ）若PC⊥AC，求證：平面PAC⊥平面ABC．

已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

2

2

，且經(jīng)過點（

6

，1），O為坐標原點．
（1）求橢圓E的標準方程．
（2）圓O是以橢圓E的長軸為直徑的圓，M是直線x=-4在x軸上方的一點，過M點作圓O的兩條切線，切點分別為P，Q，當∠PMQ=60°時，試證明點M關于直線PQ的對稱點在圓O上．

已知復數(shù)Z₁，Z₂在復平面內(nèi)對應的點分別為A（-2，1），B（a，3）．
（1）若|Z₁-Z₂|=

5

，求a的值．
（2）復數(shù)z=Z₁•Z₂對應的點在二、四象限的角平分線上，求a的值．

已知函數(shù)f（x）=2alnx-x+

1

x

（a∈R，且a≠0）；g（x）=-x²-x+2

2

b（b∈R）
（Ⅰ）若f（x）是在定義域上有極值，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）當a=

2

時，若對?x₁∈[1，e]，總?x₂∈[1，e]，使得f（x₁）＜g（x₂），求實數(shù)b的取值范圍．（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）
（Ⅲ）對?n∈N，且n≥2，證明：ln（n�。�⁴＜（n-1）（n+2）

已知函數(shù)f（x）=x²-（a+2）x+alnx，其中常數(shù)a∈R．
（1）當a=4時，求函數(shù)f（x）的極值點；
（2）令F（x）=f（x）+（a+2）x，若函數(shù)F（x）在區(qū)間[2，+∞）上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；
（3）設定義在D上的函數(shù)y=h（x）在點P（x₀，h（x₀））處的切線方程為l：y=g（x），當x≠x₀時，若

h(x)-g(x)

x-x0

＞0在D內(nèi)恒成立，則稱P為函數(shù)y=h（x）的“特殊點”，當a=4時，試問y=f（x）是否存在“類對稱點”，若存在，請至少求出一個“特殊點”的橫坐標，若不存在，說明理由．

如圖，單位正方形ABCD，在正方形內(nèi)（包括邊界）任取一點M，求：
（1）△AMB面積大于等于

1

4

的概率；
（2）求AM長度不小于1的概率．