Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，AC=BC，AP=BP，D為AB的中點．
（Ⅰ）求證：AB⊥平面PCD：
（Ⅱ）若PC⊥AC，求證：平面PAC⊥平面ABC．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定,平面與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）由已知條件得CD⊥AB，PD⊥AB，由此能證明AB⊥平面PCD．
（Ⅱ）由AB⊥平面PCD，得PC⊥AB，又PC⊥AC，從而PC⊥平面ABC，由此能證明平面PAC⊥平面ABC．

解答： （Ⅰ）證明：∵AC=BC，AP=BP，D為AB的中點，
∴CD⊥AB，PD⊥AB，
∵CD∩PD=D，
∴AB⊥平面PCD．
（Ⅱ）證明：∵AB⊥平面PCD，PC?平面PCD，
∴PC⊥AB，
又PC⊥AC，AC∩AB=A，
∴PC⊥平面ABC，
∵PC?平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABC．

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查平面與平面垂直的證明，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．