在極坐標系中，圓C是以點C（2，-

π

6

）為圓心、2為半徑的圓．
（1）求圓C的極坐標方程；
（2）求圓C被直線l：θ=-

5π

12

所截得的弦長．

已知橢圓C的方程是

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0），傾斜角為45°的直線l過橢圓的右焦點且交橢圓于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點．
（1）若橢圓的左頂點為（-2，0），離心率e=

1

2

，求橢圓C的方程；
（2）設向量

OP

=λ（

OA

+

OB

）（λ＞0），若點P在橢圓C上，求λ的取值范圍．

函數(shù)f（x）=

1

3

x³-x²+bx在x=3處取得極值．
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）求函數(shù)的單調遞減區(qū)間．

在公務員招聘中，既有文化考試又有面試．我省一單位在2014年公務員考試成績中隨機抽取100名考生的筆試成績，按成績分組：第1組[75，80），第2組[80，85），第3組[85，90），第4組[90，95），第5組[95，100）得到的頻率分布直方圖如圖所示．

（Ⅰ）求a的值以及這100名考生的平均成績；
（Ⅱ）若該單位決定在筆試成績較高的第3、4、5組中用分層抽樣抽取6名考生進入第二輪面試．
（i）已知考生甲和考生乙的成績分別在第三組與第四組，求考生甲和考試乙同時進入第二輪面試的概率；
（ii）單位決定在這6名考生中隨機抽取3名學生接受單位領導的面試，設第4組中有ξ名考生接受領導的面試，求ξ的分布列及數(shù)學期望．

對于正整數(shù)n≥2，用T_n表示關于x的一元二次方程x²+2ax+b=0有實數(shù)根的有序數(shù)組（a，b）的組數(shù)，其中a，b∈{1，2，…，n²}（a和b可以相等）；對于隨機選取的a，b∈{1，2，…，n}（a和b可以相等），記P_n為關于x的一元二次方程x²+2ax+b=0有實數(shù)根的概率．
（1）求T n2和P n2；
（2）求證：對任意正整數(shù)n≥2，有P_n＞1-

1

n

．

已知S_n=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

．
（1）求S₂，S₄的值；
（2）若T_n=

7n+11

12

，試比較S2n與T_n的大小，并給出證明．

已知A（1，0），B（-1，0），P是平面上的一個動點，且滿足|

PA

|•|

AB

|=

PB

•

AB

，
（1）求點P的軌跡方程；
（2）若直線y=x+m（m≠0）與點P的軌跡交于M，N兩點，且

OM

⊥

ON

，求m．

如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠ABD=30°，AB=2CD=2AD=2DE=2，DE⊥平面ABCD，EF∥BD，且BD=2EF．
（Ⅰ）求證：平面ADE⊥平面BDEF；
（Ⅱ）若二面角C-BF-D的大小為60°，求CF與平面ABCD所成角的正弦值．

已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=

n(a1+an)

2

．
（1）求證：數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列；
（2）若a_n=2n-1，數(shù)列{b_n}滿足：b₁=3，b_n-b_n-1=a_n+1（n≥2），求數(shù)列{

1

bn

}的前n項和T_n．

已知函數(shù)f（x）=x³-ax²+2（a∈R），f′（x）為f（x）的導函數(shù)．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調遞減區(qū)間；
（Ⅱ）若對一切的實數(shù)x，有f′（x）≥|x|-

3

4

成立，求a的取值范圍；
（Ⅲ）當a=0時，在曲線y=f（x）上是否存在兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁≠x₂），使得曲線在A，B兩點處的切線均與直線x=2交于同一點？若存在，求出交點縱坐標的最大值；若不存在，請說明理由．