已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁＝1且a_n+1＝，n∈N^*

(Ⅰ)若數(shù)列{b_n}滿足：b_n＝(n∈N^*)，試證明數(shù)列{b_n－1}是等比數(shù)列；

(Ⅱ)求數(shù)列{a_nb_n}的前n項和S_n；

(Ⅲ)數(shù)列{a_n－b_n}是否存在最大項，如果存在求出，若不存在說明理由．

如圖所示，F是雙曲線＝1(a＞0，b＞0)的左焦點，M是漸近線與左準(zhǔn)線在第二象限內(nèi)的一個交點．

(Ⅰ)求證：點M在以原點為圓心，a為半徑的圓O上；

(Ⅱ)求證：直線FM與圓O相切；

(Ⅲ)直線FM與右準(zhǔn)線交于N點，連ON交圓O于E點．若|NE|＝2a，且直線FM截雙曲線所得弦長為2，求雙曲線的方程．

(Ⅰ)若f(x)在區(qū)間[1，]內(nèi)單調(diào)遞增，求a的取值范圍；

(Ⅱ)如果點x₀使得f(x₀)＝x₀，則稱點x₀為函數(shù)y＝f(x)的一個不動點，若已知f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)在區(qū)間[－1，1]內(nèi)恰有一個不動點，求a的取值范圍．

如圖，在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AA₁＝AC＝BC＝2，D、E、F分別是AB、AA₁、CC₁的中點，P是CD上的點．

(Ⅰ)求證直線PE∥平面A₁BF；

(Ⅱ)求二面角D－EC－A的大小；

(Ⅲ)求直線PE與平面A₁BF的距離．

在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C所對邊的長，S是△ABC的面積．已知S＝a²－(b－c)²，求tanA的值．

已知F₁(－2，0)，F₂(2，0)，點P滿足|PF₁|－|PF₂|＝2，記點P的軌跡為E，

(Ⅰ)求軌跡E的方程；

(Ⅱ)若直線過點F₂且與軌跡E交于P、Q兩點，

①無論直線l繞點F₂怎樣轉(zhuǎn)動，在x軸上總存在定點M(m，0)，使MP⊥MQ恒成立，求實數(shù)m的值；

②過P、Q作直線x＝的垂線PA、QB，垂足分別為A、B，記，求λ的取值范圍．

已知二次函數(shù)f(x)＝x²－ax＋a(x∈R)同時滿足：(1)不等式f(x)≤0的解集有且只有一個元素；(2)在定義域內(nèi)存在0≤x₁＜x₂，使得不等式f(x₁)＞f(x₂)成立．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和S_n＝f(n)．

(Ⅰ)求數(shù)列{a_n}的通項公式；

(Ⅱ)設(shè)b_n＝，求數(shù)列{b_n}的前n項和；

(Ⅲ)設(shè)各項均不為零的數(shù)列{c_n}中，所有滿足c_i·c_i+1＜0的正整數(shù)i的個數(shù)稱為這個數(shù)列{c_n}的變號數(shù)．另(n為正整數(shù))，求數(shù)列{c_n}的變號數(shù)．

定義在R上的函數(shù)f(x)＝x³＋ax²＋bx(a，b)為常數(shù)在x＝－1處取得極值，且f(x)的圖象在P(1，f(1))處的切線平行與直線y＝8x．

(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的解析式及極值；

(Ⅱ)設(shè)k＞0，求不等式f(x)≥kx的解集；

(Ⅲ)對任意α，β∈R，求證：|f(sinα)－f(cosβ)≤．

在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，∠ACB＝90°，BC＝CC₁＝a，AC＝2a．

(Ⅰ)求證：AB₁⊥BC₁；

(Ⅱ)求二面角B－AB₁－C的大小；

(Ⅲ)求點A₁到平面AB₁C的距離．

把圓周分成四等份，A是其中一個分點，動點P在四個分點上按逆時針方向前進(jìn)．現(xiàn)在投擲一個質(zhì)地均勻的正四面體，它的四個面上分別寫有1，2，3，4四個數(shù)字．P從A點出發(fā)，按照正四面體底面上數(shù)字前進(jìn)幾個分點，轉(zhuǎn)一周之前連續(xù)投擲．

(Ⅰ)求點P恰好返回A點的概率；

(Ⅱ)在點P轉(zhuǎn)一周恰能返回A點的所有結(jié)果中，用隨機(jī)變量ξ表示點P能返回A點的投擲次數(shù)，求ξ的分?jǐn)?shù)列和期望．