設(shè)函數(shù)f(x)＝x－xlnx．?dāng)?shù)列{a_n}滿足0＜a₁＜1，a_n+1＝f(a_n)．

(Ⅰ)證明：函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，1)是增函數(shù)；

(Ⅱ)證明：a_n＜a_n+1＜1；

(Ⅲ)設(shè)b∈(a₁，1)，整數(shù)．證明：a_k+1＞b．

已知5只動(dòng)物中有1只患有某種疾病，需要通過化驗(yàn)血液來確定患病的動(dòng)物．血液化驗(yàn)結(jié)果呈陽(yáng)性的即為患病動(dòng)物，呈陰性的即沒患�。�下面是兩種化驗(yàn)方法：

方案甲：逐個(gè)化驗(yàn)，直到能確定患病動(dòng)物為止．

方案乙：先任取3只，將它們的血液混在一起化驗(yàn)．若結(jié)果呈陽(yáng)性則表明患病動(dòng)物為這3只中的1只，然后再逐個(gè)化驗(yàn)，直到能確定患病動(dòng)物為止；若結(jié)果呈陰性則在另外2只中任取1只化驗(yàn)．

(Ⅰ)求依方案甲所需化驗(yàn)次數(shù)不少于依方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)的概率；

(Ⅱ)表示依方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)，求的期望．

已知函數(shù)f(x)＝x³＋ax²＋x＋1，a∈R．

(Ⅰ)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(Ⅱ)設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，求a的取值范圍．

設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，且．

(Ⅰ)求tanAcotB的值；

(Ⅱ)求tan(A－B)的最大值．

解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．

下圖是一個(gè)直三棱柱(以A₁B₁C₁為底面)，被一平面所截得的幾何體，截面為ABC．已知A₁B₁＝B₁C₁＝1，∠A₁B₁C₁＝90°，AA₁＝4，BB₁＝2，CC₁＝3

(Ⅰ)設(shè)點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，證明：OC∥平面A₁B₁C₁

(Ⅱ)求AB與平面AA₁CC₁所成角的正弦值．

解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．

已知角A，B，C為△ABC的三個(gè)內(nèi)角，其對(duì)邊分別為a，b，c，若，，，且．

(Ⅰ)若△ABC的面積，求b＋c的值．

(Ⅱ)求取值范圍．

(理科)已知焦點(diǎn)為F₁(－1，0)，F(xiàn)₂(1，0)的橢圓經(jīng)過點(diǎn)，直線l過點(diǎn)F₂與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)．

(Ⅰ)求的范圍；

(Ⅱ)若與向量共線，求的值及△AOB的外接圓的方程．

(文科)已知焦點(diǎn)為F₁(－1，0)，F(xiàn)₂(1，0)的橢圓經(jīng)過點(diǎn)．

(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(Ⅱ)設(shè)P是橢圓上的點(diǎn)，△PF₁F₂的外接圓為⊙C，求半徑最小時(shí)⊙C的方程．

已知曲線f(x)＝x²＋2x在點(diǎn)(x₁，f(x₁))處的切線為l．

(Ⅰ)求l的方程；

(Ⅱ)設(shè)g(x)＝(x＋a)f(x)，若g(x)在[1，2]上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(Ⅲ)試判斷l能否與曲線g(x)＝ln(x＋1)相切？并說明理由．

某選手在電視搶答賽中答對(duì)每道題的概率都是，答錯(cuò)每道題的概率都是，答對(duì)一題積1分，答錯(cuò)一題積－1分，答完n道題后的總積分記為S_n．

(Ⅰ)答完2道題后，求同時(shí)滿足S₁＝1且S₂≥0的概率；

(Ⅱ)答完5道題后，求同時(shí)滿足S₁＝1且S₅＝1的概率；

(Ⅲ)答完5道題后，設(shè)ξ＝|S₅|，求ξ的分布列及其數(shù)學(xué)期望．