已知f（x）是奇函數(shù)，當x∈（0，1）時，f（x）=lg

1

1+x

，那么當x∈（-1，0）時，f（x）的表達式是 ______

設(shè)定義域在[x₁，x₂]的函數(shù)y=f（x）的圖象為C，C的端點分別為A、B，M是C上的任一點，向量

OA

=(x1，y1)，

OB

=(x2，y2)，

OM

=(x，y)，若x=λx₁+（1-λ）x₂，記向量

ON

=λ

OA

+(1-λ)

OB

，現(xiàn)定義“函數(shù)y=f（x）在[x₁，x₂]上可在標準K下線性近似”是指|

MN

|≤K恒成立，其中K是一個正數(shù)．
（1）證明：0≤λ≤1（2）；
（3）請你給出一個標準K的范圍，使得[0，1]上的函數(shù)y=x²（4）與y=x³（5）中有且只有一個可在標準K下線性近似．

已知定義域為R的函數(shù)f(x)=

-2x+n

2x+1+m

是奇函數(shù)．
（1）求m、n的值并指出函數(shù)y=f（x）在其定義域上的單調(diào)性（不要求證明）；
（2）解不等式f（x+2）+f（2x-1）＜0．

對于三次函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）定義：設(shè)f′′（x）是函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)數(shù)y=f′（x）的導(dǎo)數(shù)，若方程f′（x）=0有實數(shù)解x₀，則稱點（x₀f（x））為函數(shù)y=f（x）的“拐點”．已知函數(shù)f（x）=x³-6x²+5x+4，請回答下列問題．（1）求函數(shù)f（x）的“拐點”A的坐標
（2）檢驗函數(shù)f（x）的圖象是否關(guān)于“拐點”A對稱，對于任意的三次函數(shù)寫出一個有關(guān)“拐點”的結(jié)論；
（3）寫出一個三次函數(shù)G（x），使得它的“拐點”是（1，3）（不要過程）

已知函數(shù)f(x)=ln

x+1

x-1

．
（Ⅰ）求函數(shù)的定義域，并證明f(x)=ln

x+1

x-1

在定義域上是奇函數(shù)；
（Ⅱ）對于x∈[2，6]f(x)=ln

x+1

x-1

＞ln

m

(x-1)(7-x)

恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

設(shè)f(x)=

ln(1+x)

x

(x＞0)
（Ⅰ）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）是否存在實數(shù)a，使得關(guān)于x的不等式ln（1+x）＜ax在（0，+∞）上恒成立，若存在，求出a的取值范圍，若不存在，試說明理由；
（Ⅲ）求證：(1+

1

n

)n＜e，n∈N*（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）．

已知函數(shù)f（x）=xlnx，g（x）=-x²+2ax-3．
（1）求f（x）在區(qū)間[1，3]上的最小值．
（2）若f（x），g（x）在區(qū)間[1，3]上單調(diào)性相同，求實數(shù)α的取值范圍．
（3）求證：對任意的α，都有f(x)＞

x

ex

-

2

e

．

已知函數(shù)f（x）=2sin²（ωx+

π

4

）-

3

cos2ωx（ω＞0）的周期為π．
（1）求ω及函數(shù)f（x）的值域；
（2）若不等式|f（x）-m|＜2在x∈[

π

4

，

π

2

]上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

函數(shù)f（x）=lg|x+m|關(guān)于直線x=1對稱，則m=______．