Question

已知函數(shù)f（x）=xlnx，g（x）=-x²+2ax-3．
（1）求f（x）在區(qū)間[1，3]上的最小值．
（2）若f（x），g（x）在區(qū)間[1，3]上單調(diào)性相同，求實(shí)數(shù)α的取值范圍．
（3）求證：對(duì)任意的α，都有f(x)＞

x

ex

-

2

e

．

Answer 1

（1）函數(shù)f（x）=xlnx，f′（x）=lnx+1，當(dāng)x∈[1，3]時(shí)，f′（x）＞0，
因此f（x）在[1，3]上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以f（x）_min=f（1）=0
（2）要求f（x），g（x）在區(qū)間[1，3]上單調(diào)性相同，而f（x）在[1，3]上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以g（x）在區(qū)間[1，3]上單調(diào)遞增，因?yàn)間（x）=-x²+2ax-3，g′（x）=-2x+2a，即g′（x）≥0當(dāng)x∈[1，3]時(shí)恒成立，
所以-2x+2a≥0，因此a≥x，當(dāng)x∈[1，3]時(shí)恒成立，
所以a的取值范圍是[3，+∞）．
（3）函數(shù)f（x）=xlnx，f′（x）=lnx+1，可知函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的最小值為f（

1

e

）=-

1

e

，
設(shè)h（x）=

x

ex

-

2

e

，則h′（x）=

1-x

ex

，可知函數(shù)h（x）在（0，+∞）上的最大值為h（1）=-

1

e

，所以當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f（x）≥f（

1

e

）=-

1

e

=h（1）≥h（x），
綜上所述，當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f(x)＞

x

ex

-

2

e