(1)已知m，n∈N*，且1＜m＜n，證明(1＋m)ⁿ＞(1＋n)^m；

(2)設k＞0，函數(shù)，．若，都有kf(x₁)≤(1－k)g(x₂)成立，求k的取值范圍．

某廠生產(chǎn)一種機器的固定成本(即固定投入)為0.5萬元，但每生產(chǎn)100臺需要加可變成本(即另增加投入)0.25萬元，市場對此產(chǎn)品的年需求量為500臺，銷售收入函數(shù)為(萬元)(0≤x≤5)，其中x是產(chǎn)品售出的數(shù)量(單位百臺)．

(1)寫出利潤L(x)表示為年產(chǎn)量x的函數(shù)；

(2)年產(chǎn)量為多少時，工廠所得的利潤最多？

設集合W是滿足下列兩個條件的無窮數(shù)列{a_n}的集合：①；②a_n≤M．其中n∈N*，M是與n無關的常數(shù)．

(1)若{a_n}是等差數(shù)列，S_n是其前n項的和，a₃＝4，S₃＝18，試探究{S_n}與集合W之間的關系；

(2)設數(shù){b_n}的通項為b_n＝5n－2ⁿ，且{b_n}∈W，求M的取值范圍．

已知函數(shù)y＝asinx＋bcosx＋c的圖象上有一個最低點．如果圖象上每點的縱坐標不變，橫坐標縮短到原來的倍，然后向左平移1個單位，可得y＝f(x)的圖象．又知f(x)＝3的所有非負實根依次為一個公差是3的等差數(shù)列．試求f(x)的解析式和單調(diào)遞減區(qū)間．

如圖，正三棱錐P－ABC，PA＝4，AB＝2，D為BC中點，點E在AP上，滿足AE＝3EP．

(1)建立如圖的坐標系，寫出A，B，D，E四點的坐標；

(2)求異面直線AD與BE所成角的余弦值．

已知函數(shù)f(x)＝ax²＋4x－2滿足對任意x₁，x₂∈R且x₁≠x₂，都有．

(1)求實數(shù)a的取值范圍；

(2)試討論函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[－1，1]上的零點的個數(shù)；

(3)對于給定的實數(shù)a，有一個最小的負數(shù)M(a)，使得x∈[M(a)，0]時，－4≤f(x)≤4都成立，則當a為何值時，M(a)最小，并求出M(a)的最小值．

已知數(shù)列{a_n}、{b_n}、{c_n}的通項滿足b_n＝a_n+1－a_n，c_n＝b_n+1－b_n(n∈N*)，若數(shù)列{b_n}是一個非零常數(shù)列，則稱數(shù)列{a_n}是一階等差數(shù)列；若數(shù)列{c_n}是一個非零常數(shù)列，則稱數(shù)列{a_n}是二階等差數(shù)列．

(Ⅰ)試寫出滿足條件a₁＝1、b₁＝1、c_n＝1的二階等差數(shù)列{a_n}的前五項；

(Ⅱ)求滿足條件(1)的二階等差數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；

(Ⅲ)若數(shù)列{a_n}首項a₁＝2，且滿足c_n－b_n+1＋3a_n＝－2ⁿ⁺¹(n∈N*)，求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n．

如圖F₁(－c，0)，F(xiàn)₂(c，0)為雙曲線E的兩焦點，以F₁F₂為直徑的圓O與雙曲線E交于M、N、M₁、N₁，B是圓O與y軸的交點，連接MM₁與OB交于H，且H是OB的中點，

(1)當c＝1時，求雙曲線E的方程；

(2)試證：對任意的正實數(shù)c，雙曲線E的離心率為常數(shù)；

(3)連接F₁M與雙曲線E交于點A，是否存在常數(shù)恒成立，若存在試求出λ的值；若不存在，請說明理由．

如圖，在正方體ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是BB₁的中點．

(1)證明AD⊥D₁F；

(2)求AE與D₁F所成的角；

已知實數(shù)a、b、x、y滿足a²＋b²＝1，x²＋y²＝3，求ax＋by的最大值．