下圖是一個(gè)計(jì)算裝置示意圖，J₁、J₂是數(shù)據(jù)入口，C是計(jì)算結(jié)果的出口，計(jì)算過(guò)程是由J₁，J₂分別輸入自然數(shù)m和n，經(jīng)過(guò)計(jì)算后得自然數(shù)k由C輸出，此種計(jì)算裝置完成的計(jì)算滿足以下三個(gè)性質(zhì)：

①若J₁、J₂分別輸入1，則輸出結(jié)果1；

②若J₁輸入任何固定自然數(shù)不變，J₂輸入自然數(shù)增大1，則輸出結(jié)果比原來(lái)增大2；

③若J₂輸入1，J₁輸入自然數(shù)增大1，則輸出結(jié)果為原來(lái)的2倍．

試問(wèn)：(1)若J₁輸入1，J₂輸入自然數(shù)n，則輸出結(jié)果為多少？

(2)若J₂輸入1，J₁輸入自然數(shù)m，則輸出結(jié)果為多少？

(3)若J₁輸入自然數(shù)m，J₂輸入自然數(shù)n，則輸出結(jié)果為多少？

有純酒精a L(a＞1)，從中取出1 L，再用水加滿，然后再取出1 L，再用水加滿，如此反復(fù)進(jìn)行．問(wèn)第九次和第十次共取出多少升純酒精？

等差數(shù)列{a_n}的公差和等比數(shù)列{b_n}的公比都是d(d≠1)，且a₁＝b₁，a₄＝b₄，a₁₀＝b₁₀．

(1)求實(shí)數(shù)a₁和d的值；

(2)b₁₆是不是{a_n}中的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

已知數(shù)列{a_n}滿足lga_n＝3n＋5，試用定義證明{a_n}是等比數(shù)列．

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n＝2a_n＋1，求證：數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，并求出通項(xiàng)公式．

已知四個(gè)數(shù)，前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，中間兩數(shù)之積為16，前后兩數(shù)之積為－128，求這四個(gè)數(shù)．

是否存在常數(shù)a、b、c使得等式1×2²＋2×3²＋3×4²＋…＋n(n＋1)²＝(an²＋bn＋c)對(duì)一切正整數(shù)n都成立？并證明你的結(jié)論．

已知數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，且3a₅＝8a₁₂＞0，數(shù)列{b_n}滿足b_n＝a_na_n+1a_n+2(n∈N^*)，{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，當(dāng)n多大時(shí)，S_n取得最大值？并證明你的結(jié)論．

如圖，一個(gè)堆放鉛筆的Ｖ型架的最下面一層放1枝鉛筆，往上每一層都比它下面一層多放1枝，最上面一層放120枝，則這個(gè)Ｖ型架上共放著多少枝鉛筆？

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n＝－n²＋n，試求出數(shù)列{|a_n|}的前n項(xiàng)和T_n．