解答題

A、B、C是我方三個炮兵陣地，A在B正東6千米，C在B北偏西，且相距4千米，P為敵方炮兵陣地．某時刻，A處發(fā)現(xiàn)敵炮兵陣地的某種信號，由于B、C兩地比A距P較遠(yuǎn)，因此4秒后，B、C才同時發(fā)現(xiàn)這一信號．已知此信號的傳播速度為1千米/秒，A若炮擊P地，求炮擊的方位角．

已知雙曲線S的兩條漸近線過坐標(biāo)原點，且與以點A(，0)為圓心，1為半徑的圓相切，雙曲線S的一個頂點與點A關(guān)于直線y＝x對稱．設(shè)直線l過點A，斜率為k．

(1)求雙曲線S的方程；

(2)當(dāng)k＝1時，在雙曲線S的上支上求點B，使其與直線l的距離為；

(3)當(dāng)0≤k＜1時，若雙曲線S的上支上有且只有一個點B到直線l的距離為，求斜率k的值及相應(yīng)的點B的坐標(biāo)．如圖．

過雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的右焦點F作雙曲線在第一、三象限的漸近線的垂線l，垂足為P，l與雙曲線的左、右支的交點分別為A、B．

(1)求證：P在雙曲線的右準(zhǔn)線上；

(2)求雙曲線的離心率e的取值范圍；

(3)若|AP|＝3|PB|，求離心率e．

已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)左、右焦點分別為F₁和F₂，P是它左側(cè)分支上一點，P點到左準(zhǔn)線距離為d．

(1)若y＝x是已知雙曲線的一條漸近線，是否存在點P，使d，|PF₁|，|PF₂|成等比數(shù)列？若不存在，說明理由．

(2)在已知雙曲線的左分支上，使d，|PF₁|，|PF₂|成等比數(shù)列的點P存在時，求離心率e的取值范圍．

橢圓E的中心在原點O，焦點在x軸上，離心率e＝，過點C(－1，0)的直線l交橢圓于A、B兩點，且滿足＝λ(λ≥2)．

(1)若λ為常數(shù)，試用直線l的斜率k(k≠0)表示△OAB的面積；

(2)若λ為常數(shù)，當(dāng)△OAB的面積取得最大值時，求橢圓E的方程；

(3)若λ變化，且λ＝k²＋1，試問：實數(shù)λ和直線l的斜率k(k∈R)分別為何值時，橢圓E的短半軸取得最大值？并求此時的橢圓方程．

一中心在原點，對稱軸為坐標(biāo)軸的橢圓與直線x＋y＝3相交于A、B兩點，C是AB的中點，若|AB|＝2，O是坐標(biāo)原點，OC的斜率是2，求橢圓的方程．

已知拋物線y²＝2px(p＞0)，過動點M(a，0)且斜率為1的直線l與該拋物線交于不同的兩點A、B，①若|AB|≤2p，求a的取值范圍；②若線段AB的垂直平分線交AB于點Q，交x軸于點N，求直角三角形MNQ的面積．

如圖，P是拋物線C：y＝x²上一點，直線l過點P且與拋物線C交于另一點Q．

(1)若直線l與過點P的切線垂直，求線段PQ中點M的軌跡方程；

(2)若直線l不過原點且與x軸交于點S，與y軸交于點T，試求＋的取值范圍．

設(shè)P₁(x₁，y₁)，P₂(x₂，y₂)，…，P_n(x_n，y_n)(n≥3，n∈N)是二次曲線C上的點，且a₁＝|OP₁|²，a₂＝|OP₂|²，…，a_n＝|OP_n|²構(gòu)成了一個公差為d(d≠0)的等差數(shù)列，其中O是坐標(biāo)原點．記S_n＝a₁＋a₂＋…＋a_n．

(1)若C的方程為－y²＝1，n＝3．點P₁(3，0)及S₃＝162，求點P₃的坐標(biāo)；(只需寫出一個)

(2)若C的方程為y²＝2px(p≠0)．點P₁(0，0)，對于給定的自然數(shù)n，證明：(x₁＋p)²，(x₂＋p)²，…，(x_m＋p)²成等差數(shù)列；

(3)若C的方程為＋＝1(a＞b＞0)．點P₁(a，0)，對于給定的自然數(shù)n，當(dāng)公差d變化時，求S_n的最小值．

如圖，直線y＝x與拋物線y＝x²－4交于A、B兩點，線段AB的垂直平分線與直線y＝－5交于Q點．

(1)求點Q的坐標(biāo)；

(2)當(dāng)P為拋物線上位于線段AB下方(含A、B)的動點時，求△OPQ面積的最大值．