Question

在△ABC中，角A、B、C的 對(duì)邊分別為a、b、c，且cos2C=1-

8b2

a2

．
（1）求

1

tanA

+

1

tanC

的值；
（2）若tanB=

8

15

，求tanA及tanC的值．

Answer 1

（1）∵cos2C=1-

8b2

a2

，cos2C=1-2sin²C，
∴sin2C=

4b2

a2

，
∵C為三角形內(nèi)角，∴sinC＞0，
∴sinC=

2b

a

，
∵

a

sinA

=

b

sinB

，∴

b

a

=

sinB

sinA

，
∴sinC=

2sinB

sinA

，即2sinB=sinAsinC，
∵A+B+C=π，
∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
∴2sinAcosC+2cosAsinC=sinAsinC，
∵sinA•sinC≠0，
∴

1

tanA

+

1

tanC

=

1

2

；
（2）∵

1

tanA

+

1

tanC

=

1

2

，
∴tanA=

2tanC

tanC-2

，
∵A+B+C=π，
∴tanB=-tan(A+C)=-

tanA+tanC

1-tanAtanC

=

tan2C

2tan2C-tanC+2

．
∴

8

15

=

tan2C

2tan2C-tanC+2

，
整理得tan²C-tanC+16=0，
解得：tanC=4，
將tanC=4代入得：tanA=

2tanC

tanC-2

=4．