Question

已知函數(shù)f(x)=ex-

a

2

x2+e2x，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，a∈R．
（I）當(dāng)a=e²時(shí)，求曲線y=f（x）在x=-2處的切線方程；
（II）若函數(shù)f（x）在[-2，2]上為單調(diào)增函數(shù)，求a的最大值．

Answer 1

分析：（I）當(dāng)a=e²時(shí)，對(duì)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，求出其在x=-2處的斜率，根據(jù)點(diǎn)斜式求出切線的方程；
（II）函數(shù)f（x）在[-2，2]上為單調(diào)增函數(shù)，可得f′（x）=e^x-ax+e²≥0對(duì)任意的x∈[-2，2]恒成立，分兩種情況：x=0或x≠0，從而求解；

解答：解：由題意得f（x）的定義域?yàn)镽，且f′（x）=e^x-ax+e²，
（I）由于a=e²，則f（x）=e^x-

e2

2

x²+e²x，f′（x）=e^x-e²x+e²，
故f（-2）=e^-2-4e²，f′（-2）=e^-2+3e²，
所以f（x）在x=-2處的切線方程為：y=f′（-2）（x+2）+f（-2），即y=（e^-2+3e²）x+3e^-2+2e²，
（II）因?yàn)閒（x）在[-2，2]上為單調(diào)增函數(shù)；
所以f′（x）=e^x-ax+e²≥0對(duì)任意的x∈[-2，2]恒成立，
①當(dāng)x=0時(shí)，不等式成立；
②當(dāng)x≠0時(shí)，即可轉(zhuǎn)化為不等式a≤

ex+e2

x

對(duì)x∈（0，2]恒成立且不等式
a≥

ex+e2

x

對(duì)x∈[-2，0）恒成立，
令h（x）=

ex+e2

x

，-2≤x≤2，x≠0，則h′（x）=

xex-ex- e2

x2

令p（x）=xe^x-e^x-e²，則p′（x）=e^x+xe^x-e^x=xe^x，
當(dāng)x∈[-2，0），p′（x）＜0，；當(dāng)x∈（0，2]時(shí)，p′（x）＞0，
故p（x）在[-2，0）上單調(diào)遞減，在（0，2]上單調(diào)遞增；
又p（2）=0，p（-2）＜0，
所以當(dāng)x∈[-2，0）時(shí)，h′（x）＜0；當(dāng)x∈（0，2]時(shí)，h′（x）≤0，
所以h（x）在∈[-2，0）上單調(diào)遞減，在∈（0，2]上單調(diào)遞減．
所以h（x）在∈[-2，0）上的最大值M=h（-2）=-

e-2+e2

2

，在（0，2]上的最小值N=h（2）=e²，
所以滿足條件的實(shí)數(shù)a的取值范圍為：[-

e-2+e2

2

，e²]，所以實(shí)數(shù)a的最大值為e²

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性，利用了分類討論的思想，此題是一道綜合性題，有一定的難度；