Question

已知函數(shù)f(x)=

e-x-2，(x≤0) 2ax-1，(x＞0)

（a是常數(shù)且a＞0）．對于下列命題：
①函數(shù)f（x）的最小值是-1；
②函數(shù)f（x）在R上是單調(diào)函數(shù)；
③若f（x）＞0在[

1

2

，+∞)上恒成立，則a的取值范圍是a＞1；
④對任意x₁＜0，x₂＜0且x₁≠x₂，恒有f(

x1+x2

2

)＜

f(x1)+f(x2)

2

．
其中正確命題的序號是

 

．

Answer 1

分析：①由圖只需說明在點x=0處函數(shù)f（x）的最小值是-1；
②只需說明函數(shù)f（x）在R上的單調(diào)性即可；
③只需說明f（x）＞0在[

1

2

，+∞)上恒成立，則當x=

1

2

時，函數(shù)取得最小值，從而求得a的取值范圍是a＞1；
④已知函數(shù)在（-∝，0）上的圖象在[0，+∞）上是下凹的，所以任取兩點連線應在圖象的上方，故D正確．

解答：
解：①由圖只需說明在點x=0處函數(shù)f（x）的最小值是-1；故正確；
②由圖象說明函函數(shù)f（x）在R上不是單調(diào)函數(shù)；故錯；
③只需說明f（x）＞0在[

1

2

，+∞)上恒成立，則當x=

1

2

時，函數(shù)取得最小值，求得a的取值范圍是a＞1；故正確；
④已知函數(shù)函數(shù)在（-∝，0）上的圖象在[0，+∞）上是下凹的，所以任取兩點連線應在圖象的上方，
即f（

x1+x2

2

）＜

f(x1) +f(x2)

2

，故正確．
故答案為：①③④．

點評：利用函數(shù)的圖象研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值是常用的方法，解答本題的關鍵是圖象法．