Question

數(shù)列{a_n}中an+1+an=3n-54(n∈N*)．
（1）若a₁=-20，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)S_n為{a_n}的前n項(xiàng)和，證明：當(dāng)a₁＞-27時(shí)，有相同的n，使S_n與|a_n+1+a_n|都取最小值．

Answer 1

分析：（1）利用題設(shè)遞推式表示出a_n+2+a_n+1，兩式相減求得a_n+2-a_n為常數(shù)，進(jìn)而判斷出a₁，a₃，a₅，與a₂，a₄，a₆，都是d=3的等差數(shù)列，分別看n為奇數(shù)和偶數(shù)時(shí)利用疊加法和等差數(shù)列求和公式求得答案．
（2）分別看n為奇數(shù)和偶數(shù)時(shí)表示出S_n，利用二次函數(shù)的性質(zhì)分別求得其最小值，最后綜合可得答案．

解答：解：（1）∵an+1+an=3n-54(n∈N*)，
∴a_n+2+a_n+1=3n-51
∴兩式相減得a_n+2-a_n=3，
∴a₁，a₃，a₅，與a₂，a₄，a₆，都是d=3的等差數(shù)列
∵a₁=-20，∴a₂=-31，
①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，a_n=

3n-43

2

；②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，a_n=

3n-68

2

∴a_n=

3n-43 2 ，n為奇數(shù) 3n-68 2 ，n為偶數(shù)

；
（2）n=18時(shí)，|a_n+1+a_n|有最小值0；
①當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，S_n=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）+…+（a_n-1+a_n）
=（3×1-54）+（3×3-54）+…+[3（n-1）-54]=3[1+3+5+…+（n-1）]-

n

2

×54=

3

4

n²-27n=

3

4

（n-18）²-243，
∴當(dāng)n=18時(shí)，（S_n）_min=-243；
②當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，S_n=a₁+（a₂+a₃）+…+（a_n-1+a_n）=

3

4

n²-27n+

105

4

+a₁=

3

4

（n-18）²-216

3

4

+a₁，
∴當(dāng)n=17或19時(shí)（S_n）_min=a₁-216＞-243；
綜上，當(dāng)n=18時(shí)（S_n）_min=-243．
∴當(dāng)a₁＞-27時(shí)，有相同的n，使S_n與|a_n+1+a_n|都取最小值．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的求和問題，求數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及數(shù)列與函數(shù)思想的綜合，考查學(xué)生分析解決問題的能力，考查分類討論是數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．