Question

在數(shù)列{a_n}中，已知a1=1，an+1=

an

1+2an

(n∈N+)．
（1）求a₂，a₃，a₄，并由此猜想數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n的表達(dá)式；
（2）用適當(dāng)?shù)姆椒ㄗC明你的猜想．

Answer 1

分析：（1）利用a1=1，an+1=

an

1+2an

(n∈N+)，n分別取2，3，4，可求出a₂，a₃，a₄，并由此猜想數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)n=1時(shí)，a1=

1

2×1-1

=1，猜想成立；②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)成立，利用an+1=

an

1+2an

(n∈N+)，可證得當(dāng)n=k+1時(shí)猜想也成立，故可得結(jié)論．

解答：解：（1）∵a1=1，an+1=

an

1+2an

(n∈N+)．
∴a2=

1

1+2

=

1

3

…．（1分）
a3=

1 3

1+ 2 3

=

1

5

…（2分）
a4=

1 5

1+ 2 5

=

1

7

…（3分）
由此猜想數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式an=

1

2n-1

(n∈N+)…..（5分）
（2）下面用數(shù)學(xué)歸納法證明
①當(dāng)n=1時(shí)，a1=

1

2×1-1

=1，猜想成立…..（6分）
②假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N⁺，k≥1）猜想成立，即ak=

1

2k-1

…．（7分）
∵an+1=

an

1+2an

(n∈N+)．…（8分）
∴ak+1=

ak

1+2ak

=

1 2k-1

1+ 2 2k-1

=

1

2k+1

…（12分）
即當(dāng)n=k+1時(shí)猜想也成立…..（13分）
根據(jù)①和②，可知猜想對(duì)任何n∈N⁺都成立…..（14分）
（用其他方法正確證明也給分）

點(diǎn)評(píng)：本題以數(shù)列遞推式為載體，考查數(shù)列的通項(xiàng)的猜想與證明，解題的關(guān)鍵是利用數(shù)學(xué)歸納法證明，尤其第二步的證明．