Question

已知a為實數(shù)，．
（1）求證：對于任意實數(shù)a，y=f（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)；
（2）當f（x）是奇函數(shù)時，若方程f^-1（x）=log₂（x+t）總有實數(shù)根，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

解：（1）設(shè)x₁＞x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=-+
∴x₁＞x₂，
∴＞
∴＜
∴f（x₁）-f（x₂）=-+＞0
∴f（x₁）＞f（x₂）
∴函數(shù)f（x）在定義域上為增函數(shù)．
（2）因為f（x）是R上的奇函數(shù)，所以，
即a=1．
由得
當且僅當，即時等號成立，
所以，t的取值范圍是．
分析：（1）設(shè)x₁＞x₂，代入函數(shù)解析式利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求得f（x₁）-f（x₂）＞0，進而可知f（x₁）＞f（x₂）推斷出函數(shù)為增函數(shù)．
（2）利用f（x）是奇函數(shù)時，可推斷出f（0）=0求得a，進而求得f^-1（x）的解析式，利用題設(shè)等式求得t的表達式，最后利用基本不等式求得t的最小值，進而求得t的范圍．
點評：本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷和證明．一般是先設(shè)出定義域上的x₁＞x₂，根據(jù)f（x₁）和f（x₂）的大小來判斷函數(shù)的單調(diào)性．