【題目】已知函數(shù).

(1)時,求函數(shù)的極值;

(2)恒成立,求的取值范圍;

(3)設函數(shù)的極值點為,當變化時,點(,)構成曲線M.證明:任意過原點的直線,與曲線M均僅有一個公共點.

【答案】(1) 的極大值為,無極小值;(2) (3) 證明見解析.

【解析】

1)對函數(shù)求導,求出單調(diào)區(qū)間,即可求出極值;

2恒成立,兩種解法:①分離參數(shù),構造新函數(shù),轉(zhuǎn)化為與新函數(shù)的最值關系;②轉(zhuǎn)化為,對分類討論求出,轉(zhuǎn)化為解關于的不等式;

3)先確定出點(,)構成曲線M,直線與曲線M均僅有一個公共點轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點,對分類討論,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,結合零點存在性定理,即可得證.

(1)時,,

時,單調(diào)遞減;

時,,單調(diào)遞增;

所以當時,的極大值為,無極小值;

(2)(法一)

∴由恒成立,得恒成立,

,

,則,

,故

∴在(0+∞)單增,又

,,,

,,,,

,單減,),單增,

時,取極小值即最小值,

法二:

由二次函數(shù)性質(zhì)可知,存在,使得,

,且當時,,

時,,

所以上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,

,

由題意可知,,

,則,即單調(diào)遞增.

的解集為(0,1],即

;

(3)(2)可知,

則曲線M的方程為,

由題意可知.對任意,

證明:方程均有唯一解,

,

①當時,恒成立,

所以上單調(diào)遞增,

,

所以存在滿足時,使得,

又因為單調(diào)遞增.所以為唯一解;

②當,即時,

恒成立,所以上單調(diào)遞增,

,,

∴存在使得,

又∵單調(diào)遞增,所以為唯一解;

③當時,有兩解,不妨設

因為,所以,列表如下:

+

0

-

0

+

極大值

極小值

由表可知,當時,

的極大值為,

,所以.

,

∴存在,使得

又因為單調(diào)遞增,所以為唯一解:

綜上,原命題得證.

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