Question

已知△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊的邊長為a、b、c，且bcosC=（2a-c）cosB，則y=cosA+cosC的最大值為

1

．

Answer 1

分析：△ABC中，由bcosC=（2a-c）cosB，利用正弦定理化簡可得cosB=

1

2

，故B=60°，A+C=120°．再由 y=cosA+cosC=2cos

A+C

2

 cos

A-C

2

=cos

A-C

2

≤1，從而得出結(jié)論．

解答：解：△ABC中，∵bcosC=（2a-c）cosB，由正弦定理得：
2RsinBcosC=（4RsinA-2RsinC）cosB，即 sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB，
化簡為sin（B+C）=2sinAcosB，∴sinA=2sinAcosB，∴cosB=

1

2

，∴B=60°，A+C=120°．
又 y=cosA+cosC=2cos

A+C

2

 cos

A-C

2

=cos

A-C

2

≤1，當(dāng)且僅當(dāng)A=C時(shí)，取等號，故y=cosA+cosC的最大值為1
故答案為 1．

點(diǎn)評：本題主要考查兩角和差的正弦、余弦公式、正弦定理、和差化積公式的應(yīng)用，屬于中檔題．