Question

已知△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a，b，c成等比數(shù)列，cosB=

3

4

．
（Ⅰ）求

1

tanA

+

1

tanC

的值；
（Ⅱ）設

BA

•

BC

=

3

2

，求a+c的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由cosB的值和B的范圍，利用同角三角函數(shù)間的基本關系求出sinB的值，又a，b，c成等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)及正弦定理化簡得到一個關系式，然后把所求的式子利用同角三角函數(shù)間的基本關系及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡后，將得到的關系式和sinB的值代入即可求出值；
（Ⅱ）根據(jù)平面向量的數(shù)量積得運算法則及cosB的值化簡

BA

•

BC

=

3

2

，即可得到ac的值，進而得到b²的值，然后由余弦定理和完全平方公式，由b²和ac及cosB的值，即可得到a+c的值．

解答：解：（Ⅰ）由cosB=

3

4

，得sinB=

1-( 3 4 )2

=

7

4

，
由b²=ac及正弦定理得sin²B=sinAsinC．
于是

1

tanA

+

1

tanC

=

cosA

sinA

+

cosC

sinC

=

sinCcosA+cosCsinA

sinAsinC

=

sin(A+C)

sin2B

=

sinB

sin2B

=

1

sinB

=

4

7

7

．（6分）
（Ⅱ）由

BA

•

BC

=

3

2

得ca•cosB=

3

2

，由cosB=

3

4

，可得ca=2，即b2=2．
由余弦定理：b²=a²+c²-2ac•cosB，又b²=ac=2，cosB=

3

4

，
得a²+c²=b²+2ac•cosB=2+4×

3

4

=5，
則（a+c）²=a²+c²+2ac=5+4=9，解得：a+c=3．（12分）

點評：此題考查學生靈活運用同角三角函數(shù)間的基本關系及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡求值，靈活運用余弦定理及等比數(shù)列的性質(zhì)化簡求值，是一道中檔題．