Question

（本小題滿分13分）對于函數(shù)，如果它們的圖象有公共點P，且在點P處的切線相同，則稱函數(shù)和在點P處相切，稱點P為這兩個函數(shù)的切點. 設(shè)函數(shù),.

（Ⅰ）當,時, 判斷函數(shù)和是否相切？并說明理由；

（Ⅱ）已知，，且函數(shù)和相切，求切點P的坐標；

（Ⅲ）設(shè)，點P的坐標為，問是否存在符合條件的函數(shù)和，使得它們在點P處相切？若點P的坐標為呢？（結(jié)論不要求證明）

Answer 1

（Ⅰ）函數(shù)和不相切.; （Ⅱ）;（Ⅲ）詳見解析.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由條件知，由，得， 又因為 ，， 所以當時，，，所以對于任意的，.即可證明，當,時,函數(shù)和不相切. （Ⅱ）若，則，，設(shè)切點坐標為 ，其中,

由題意，得 ①；② 可得 ， ，進而的.

設(shè)函數(shù) ，，則 ，列出當變化時，與的變化情況表，可得切點P的坐標；（Ⅲ）由（Ⅰ）、（Ⅱ）即可得到結(jié)果.

試題解析：（Ⅰ）【解析】
結(jié)論：當,時,函數(shù)和不相切. 1分

理由如下：

由條件知，

由，得，

又因為 ，， 2分

所以當時，，，

所以對于任意的，.

當,時,函數(shù)和不相切. 3分

（Ⅱ）【解析】
若，則，，

設(shè)切點坐標為 ，其中,

由題意，得 ， ①

， ② 4分

由②，得 ，

代入①，得 . （*） 5分

因為 ，且，

所以 .

設(shè)函數(shù) ，，

則 . 6分

令 ，解得或(舍). 7分

當變化時，與的變化情況如下表所示，

		1
		0
	↗		↘

8分

所以當時，取到最大值，且當時.

因此，當且僅當時.

所以方程（*）有且僅有一解.

于是 ，

因此切點P的坐標為. 9分

（Ⅲ）【解析】
當點的坐標為時，存在符合條件的函數(shù)和，使得它們在點

處相切； 11分

當點的坐標為時，不存在符合條件的函數(shù)和，使得它們在點處相切. 13分.

考點：1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義；2.導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性上的應(yīng)用.