Question

【題目】已知過原點(diǎn)的動直線與圓： 交于兩點(diǎn).

（1）若，求直線的方程；

（2）軸上是否存在定點(diǎn)，使得當(dāng)變動時(shí)，總有直線的斜率之和為0？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：（1）先求出圓心C（-1，0）到直線l的距離為，利用點(diǎn)到直線距離公式能求出直線l的方程．

（2）設(shè)，直線MA、MB的斜率分別為k1，k2．設(shè)l的方程為y=kx，代入圓C的方程得（k2+1）x2+2x-3=0，由此利用韋達(dá)定理，結(jié)果已知條件能求出存在定點(diǎn)M（3，0），使得當(dāng)l變動時(shí)，總有直線MA、MB的斜率之和為0.

試題解析：

（Ⅰ）設(shè)圓心到直線的距離為，則

當(dāng)的斜率不存在時(shí)， ，不合題意

當(dāng)的斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為，由點(diǎn)到直線距離公式得

解得，故直線的方程為

（Ⅱ）存在定點(diǎn)，且，證明如下：

設(shè)，直線、的斜率分別為.

當(dāng)的斜率不存在時(shí)，由對稱性可得， ，符合題意

當(dāng)的斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為，代入圓的方程

整理得

∴， ，

∴

當(dāng)，即時(shí)，有，

所以存在定點(diǎn)符合題意， .