【題目】已知拋物線經(jīng)過點,過作兩條不同直線,其中直線關于直線對稱.

(Ⅰ)求拋物線的方程及準線方程;

(Ⅱ)設直線分別交拋物線兩點(均不與重合),若以線段為直徑的圓與拋物線的準線相切,求直線的方程.

【答案】(Ⅰ) ;準線方程為 ;(Ⅱ)

【解析】

(Ⅰ)將點坐標代入曲線方程求出,于是可得曲線方程.(Ⅱ)方法一:由題意設出直線的方程,與拋物線方程聯(lián)立消元后根據(jù)根與系數(shù)的關系求出點的坐標,同理得到點的坐標,然后根據(jù)以線段為直徑的圓與拋物線的準線相切可求得點中的參數(shù),進而可得所求方程.方法二:由題意得的傾斜角互補,由此可得,于是可設直線的方程為,與曲線方程聯(lián)立消元后再根據(jù)題意求得參數(shù),進而得到直線方程.

(Ⅰ)∵拋物線過點,

,解得,

∴拋物線的方程為,準線方程為

(Ⅱ)方法一:不妨設的左邊,從而可設直線的方程為,即,

消去整理得

,故

,

∴點

又由條件得的傾斜角互補,以代替點坐標中的,

可得點

,且中點的橫坐標為,

∵以線段為直徑的圓與拋物線的準線相切,

,解得

,

,

∴直線的方程為,即

方法二:設,

因為直線關于對稱,所以的傾斜角互補,

所以

所以,

所以

設直線的方程為

消去去整理得,

所以

所以,且中點D的橫坐標為

因為以線段為直徑的圓與拋物線的準線相切,

所以,

,解得,

所以直線的方程為,即

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(下面摘取了隨機數(shù)表第7行至第9行)

84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76

63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79

33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54

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組別

頻數(shù)

25

150

200

250

225

100

50

(1)由頻數(shù)分布表可以認為,此次問卷調查的得分服從正態(tài)分布近似為這1000人得分的平均值(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作為代表),請利用正態(tài)分布的知識求;

(2)在(1)的條件下,文明辦為此次參加問卷調查的市民制定如下獎勵方案:

(i)得分不低于的可以獲贈2次隨機話費,得分低于的可以獲贈1次隨機話費;

(ii)每次獲贈的隨機話費和對應的概率為:

獲贈的隨機話費(單位:元)

20

40

概率

現(xiàn)市民小王要參加此次問卷調查,記(單位:元)為該市民參加問卷調查獲贈的話費,求的分布列及數(shù)學期望.

附:①;

②若,則,,.

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