Question

如圖，已知四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，且AC=AB=BC=2，PA⊥平面ABCD，E，F(xiàn)分別是BC，PC的中點(diǎn)
（1）證明：AE⊥PD；
（2）若H為PD上一點(diǎn)，且AH⊥PD，EH與平面PAD所成角的正切值為

6

2

，求二面角E-AF-C的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間角

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出△ABC為正三角形，AE⊥BC，AE⊥AD，PA⊥AE，由此能證明AE⊥PD．
（2）由已知條件推導(dǎo)出∠EHA為EH與平面PAD所成的角，由此能求出二面角的余弦值．

解答： （1）證明：由AC=AB=BC，得△ABC為正三角形．
因?yàn)镋為BC的中點(diǎn)，所以AE⊥BC．
又BC∥AD，因此AE⊥AD．
因?yàn)镻A⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，所以PA⊥AE．
而PA?平面PAD，AD?平面PAD且PA∩AD=A，
所以AE⊥平面PAD．又PD?平面PAD，
所以AE⊥PD．（5分）
（2）解：因?yàn)锳H⊥PD，
由（1）知AE⊥平面PAD，
則∠EHA為EH與平面PAD所成的角．
在Rt△EAH中，AE=

3

，
此時(shí)tan∠EHA=

AE

AH

=

3

AH

=

6

2

，
因此AH=

2

．又AD=2，所以∠ADH=45°，
所以PA=2．（8分）
因?yàn)镻A⊥平面ABCD，PA?平面PAC，
所以平面PAC⊥平面ABCD．
過(guò)E作EO⊥AC于O，則EO⊥平面PAC，
過(guò)O作OS⊥AF于S，連結(jié)ES，
則∠ESO為二面角E-AF-C的平面角，
在Rt△AOE中，EO=AE•sin 30°=

3

2

，AO=AE•cos 30°=

3

2

，
又F是PC的中點(diǎn)，在Rt△ASO中，SO=AO•sin 45°=

3 2

4

，
又SE=

EO2+SO2

=

3 4 + 9 8

=

30

4

，
在Rt△ESO中，cos∠ESO=

SO

SE

=

3 2 4

30 4

=

15

5

，
即所求二面角的余弦值為

15

5

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．