Question

已知雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），設(shè)P是雙曲線C上任意一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)F為雙曲線右焦點(diǎn)．
（1）若雙曲線C滿足：無論點(diǎn)P在右支的何處，總有|PO|＞|PF|，求雙曲線C在第一、三象限的那條漸近線的傾斜角的取值范圍；
（2）過右焦點(diǎn)F的動直線l交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，是否存在這樣的a，b的值，使得△OAB為等邊三角形．若存在，求出所有滿足條件的a，b的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）求出|OP|，|PF|，利用|PO|＞|PF|，可得0＜

b

a

＜

3

，即可得出結(jié)論；
（2）確定A、B是關(guān)于x軸或y軸或原點(diǎn)對稱的，再分類討論，A、B都在右支上，于是由Rt△OAF的各邊關(guān)系，得|AB|=2|AF|=

2b2

a

且|OA|=

c4 a2 -b2

，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）|OP|=

c2 a2 x2-b2

=

a2+b2 a2 x2-b2

（x≤-a或x≥a）；------（2分）
|PF|=|

c

a

x-a|，
∵|PO|＞|PF|，
∴|PO|²＞|PF|²，
∴2x＞c（x≥a）恒成立，------（4分）
∴c＜（2x）_min=2a，
∴a²+b²＜4a²，
∴0＜

b

a

＜

3

，------（5分）
設(shè)所求的傾斜角為θ，則0＜tanθ＜

3

，得0＜θ＜

π

3

．------（6分）
（2）由|OA|=|OB|及（1）得x_A²=x_B²，∴y_A²=y_B²，
于是A、B是關(guān)于x軸或y軸或原點(diǎn)對稱的，
若關(guān)于原點(diǎn)對稱，則A、O、B、F共線，這是不可能的；------（8分）
若關(guān)于y軸對稱，則AB∥x軸，這也是不可能的；------（10分）
若關(guān)于x軸對稱，則AB∥y軸，又A、F、B共線，∴A、B都在右支上，
于是由Rt△OAF的各邊關(guān)系，得|AB|=2|AF|=

2b2

a

且|OA|=

c4 a2 -b2

，
∴

4b4

a2

=

c4-a2b2

a2

，即a⁴+a²b²-3b⁴=0，（12分）
設(shè)b=m＞0，則a=

2 13 -2

2

m，
∴存在這樣的a=

2 13 -2

2

m，b=m（其中m為正常數(shù)），使△OAB為等邊三角形．------（14分）

點(diǎn)評：本題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，綜合性強(qiáng)．