Question

已知函數(shù)f（x）=x²-ax（a≠0），g（x）=lnx，f（x）圖象與x軸異于原點的交點M處的切線為l₁，g（x-1）與x軸的交點N處的切線為l₂，并且l₁與l₂平行．
（1）求f（2）的值；
（2）已知實數(shù)t≥

1

2

，求u=xlnx，x∈[1，e]的取值范圍及函數(shù)y=f（u+t）的最值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）分別求出f（x）、g（x-1）的導數(shù)，由l₁與l₂平行，得它們的斜率相等，即有切線的斜率相等，得到a的方程，解出a，即可得到f（2）；
（2）u=xlnx，當x∈[1，e]時，u′=lnx+1＞0，則u在[1，e]單調(diào)遞增，即可得到取值范圍；又化簡y=f（u+t）=u²+（2t-1）u+t²-t圖象的對稱軸u=

1-2t

2

，考慮與區(qū)間的關(guān)系拋，由t≥

1

2

有u=

1-2t

2

≤0，即函數(shù)在[0，e]上單調(diào)遞增，即可得到最值．

解答： 解：（1）y=f（x）圖象與x軸異于原點的交點M（a，0），f′（x）=2x-a，
y=g（x-1）=ln（x-1）圖象與x軸的交點N（2，0），g′（x-1）=

1

x-1

，
由題意可得l₁，l₂的斜率相等，即2a-a=

1

2-1

=1，則a=1，
∴f（x）=x²-x，f（2）=2²-2=2；
（2）u=xlnx，當x∈[1，e]時，u′=lnx+1＞0，
∴u=xlnx在[1，e]單調(diào)遞增，則u的取值范圍是：0≤u≤e；
又y=f（u+t）=u²+（2t-1）u+t²-t圖象的對稱軸u=

1-2t

2

，拋物線開口向上，
由t≥

1

2

有u=

1-2t

2

≤0，即函數(shù)在[0，e]上單調(diào)遞增；    
y_min=y|_u=0=t²-t，ymax=e2+(2t-1)e+t2-t，
綜上：當t≥

1

2

時，ymin=t2-t；ymax=e2+(2t-1)e+t2-t．

點評：本題考查導數(shù)的幾何意義：曲線在某點處的切線的斜率，考查運用導數(shù)判斷單調(diào)性，以及應用單調(diào)性求最值，同時考查兩直線的位置關(guān)系以及運算能力，屬于中檔題．