Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當時,討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）當時,若關于的不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減（2）

【解析】

（1）求出函數(shù)的導數(shù)， 通過討論的范圍， 求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；

（2）問題轉(zhuǎn)化為恒成立， 設，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出的最小值， 從而求出的范圍即可 ．

解：（1）由題意，知.

當，時，有.

當時，；當時，.

函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

（2）由題意，當時，不等式恒成立.

即恒成立，即恒成立.

設.則.

設，則.

當時，有.

在上單調(diào)遞增，且，.

函數(shù)有唯一的零點，且.

當時，，，單調(diào)遞減；

當時，，，單調(diào)遞增.

即為在定義域內(nèi)的最小值.

.

，得，.

令，.

方程等價于，.

而在上恒大于零，在上單調(diào)遞增.

故等價于，.

設函數(shù)，.易知單調(diào)遞增.

又，，是函數(shù)的唯一零點.

即，.

故的最小值.

實數(shù)b的取值范圍為.