Question

【題目】如圖,四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為2的菱形,,平面,點(diǎn)是棱的中點(diǎn).

（1）證明：平面；

（2）當(dāng)時(shí),求三棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

（1）連接交于點(diǎn)，連接，則，分別為，中點(diǎn)，由三角形中位線定理可得 ,從而可得結(jié)論；（2）取線段的中點(diǎn)，先證明垂直于平面，則點(diǎn)到平面的距離即為的長(zhǎng)度. 結(jié)合A，可得點(diǎn)到平面的距離即為的長(zhǎng)度. 由為的中點(diǎn)，可得點(diǎn)到平面的距離即為的長(zhǎng)度，利用即可得結(jié)果.

（1）如圖，

連接AC交BD于點(diǎn)O，連接MO.

∵M(jìn)，O分別為PC，AC中點(diǎn)，

∴PA∥MO ,

∵PA不在平面BMD內(nèi)，MO平面BMD.

∴PA∥平面BMD.

（2）如圖，取線段BC的中點(diǎn)H，連結(jié)AH.

∵ABCD是菱形，，∴AH⊥AD.

∵PA⊥平面ABCD，∴AH⊥PA.

又PA∩AD=A，PA，AD平面PAD.

AH⊥平面PAD.∴點(diǎn)H到平面PAD的距離即為AH的長(zhǎng)度.

∴BC∥AD，∴點(diǎn)C到平面PAD的距離即為AH的長(zhǎng)度.

∵M(jìn)為PC的中點(diǎn)，∴點(diǎn)M到平面PAD的距離即為AH的長(zhǎng)度.

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