Question

在等比數(shù)列{a_n}中，已知a₁=1，a₄=8．設(shè)S_3n為該數(shù)列的前3n項(xiàng)和，T_n為數(shù)列{a_n³}的前n項(xiàng)和．若S_3n=tT_n，則實(shí)數(shù)t的值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：等比數(shù)列的性質(zhì)

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由題意可得等比數(shù)列{a_n}的公比，可求S_3n，可判數(shù)列{a_n³}是1為首項(xiàng)8為公比的等比數(shù)列，可得T_n，代入已知可解t值．

解答： 解：∵等比數(shù)列{a_n}中a₁=1，a₄=8．
∴等比數(shù)列{a_n}的公比q=

3	a4 a1

=2，
∴S_3n=

a1(1-q3n)

1-q

=

(1-23n)

1-2

=8ⁿ-1，
又可得數(shù)列{a_n³}是1為首項(xiàng)8為公比的等比數(shù)列，
∴其前n項(xiàng)和T_n=

1-8n

1-8

=

1

7

（8ⁿ-1）
由S_3n=tT_n可得8ⁿ-1=t×

1

7

（8ⁿ-1），
解得t=7
故答案為：7

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的求和公式，屬基礎(chǔ)題．