Question

已知F₁，F(xiàn)₂為橢圓的左、右焦點，P是橢圓上一點．
（1）求|PF₁|•|PF₂|的最大值；
（2）若∠F₁PF₂=60°且△F₁PF₂的面積為，求b的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用橢圓定義知|PF₁|+|PF₂|為定值2a，再利用均值定理求積|PF₁|•|PF₂|的最大值即可；、
（2）先根據(jù)橢圓的方程求得c，進而求得|F₁F₂|，設出|PF₁|=t₁，|PF₂|=t₂，利用余弦定理可求得t₁t₂的值，最后利用三角形面積公式求解即可求出b值．
解答：解：（1）∵P點在橢圓上，∴|PF₁|+|PF₂|=|2a=20，
∵|PF₁|＞0，|PF₂|＞0，∴|PF₁|•|PF₂|≤=100，
∴|PF₁|•|PF₂|有最大值100．
（2）∵a=10，|F₁F₂|=2c．
設|PF₁|=t₁，|PF₂|=t₂，
則根據(jù)橢圓的定義可得：t₁+t₂=20①，
在△F₁PF₂中，∠F₁PF₂=60°，
所以根據(jù)余弦定理可得：t₁²+t₂²-2t₁t₂•cos60°=4c²②，
由①²-②得3t₁•t₂=400-4c²，
所以由正弦定理可得：=．
所以c=6，
∴b=8．
點評：本題考查了橢圓的標準方程的意義，橢圓定義的應用，橢圓的幾何性質，利用均值定理和函數(shù)求最值的方法