【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時,求函數(shù)
的極值;
(2)設(shè)函數(shù)在
處的切線方程為
,若函數(shù)
是
上的單調(diào)增函數(shù),求
的值;
(3)是否存在一條直線與函數(shù)的圖象相切于兩個不同的點?并說明理由.
【答案】(1)的極大值為
;極小值為
;(2)
;(3)見解析
【解析】
(1),列極值表,即可求得
的極值;(2)設(shè)切線方程為
,從而
,記
,即求
在
上恒成立,將
變形為
恒成立,由基本不等式成立求得
;(3)假設(shè)存在一條直線與函數(shù)
的圖象有兩個不同的切點
,
分別寫出
處的切線方程
,由
為同一直線得
整理得
消去
得,
,令
構(gòu)造函數(shù)
,求導(dǎo)求得
,推出矛盾,說明假設(shè)不成立,則不存在
(1) 當(dāng)時,函數(shù)
的定義域為
.
則,令
得,
或
.列表:
1 | 2 | ||||
+ | 0 | 0 | + | ||
↗ | 極大值 | ↘ | 極小值 | ↗ |
所以函數(shù)的極大值為
;極小值為
.
(2)依題意,切線方程為,
從而,
記,
則在
上為單調(diào)增函數(shù),
所以在
上恒成立,
即在
上恒成立.
變形得在
上恒成立 ,
因為(當(dāng)且僅當(dāng)
時,等號成立),
所以,從而
,所以
.
(3)假設(shè)存在一條直線與函數(shù)的圖象有兩個不同的切點
,
,不妨
,則
處切線
的方程為:
,
處切線
的方程為:
.
因為,
為同一直線,所以
即
整理得, 消去
得,
.
令,由
與
,得
,
記,則
,
所以為
上的單調(diào)減函數(shù),所以
.
從而式不可能成立,所以假設(shè)不成立,從而不存在一條直線與函數(shù)
的圖象有兩個不同的切點.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且a+b+c=8.
(1)若a=2,b=,求cosC的值;
(2)若sinAcos2+sinB·cos2
=2sinC,且△ABC的面積S=
sinC,求a和b的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“日行一萬步,健康你一生”的養(yǎng)生觀念已經(jīng)深入人心,由于研究性學(xué)習(xí)的需要,某大學(xué)生收集了手機“微信運動”團隊中特定甲、乙兩個班級名成員一天行走的步數(shù),然后采用分層抽樣的方法按照
,
,
,
分層抽取了20名成員的步數(shù),并繪制了如下尚不完整的莖葉圖(單位:千步):
已知甲、乙兩班行走步數(shù)的平均值都是44千步.
(1)求的值;
(2)(ⅰ)若,求甲、乙兩個班級100名成員中行走步數(shù)在
,
,
,
各層的人數(shù);
(ⅱ)若估計該團隊中一天行走步數(shù)少于40千步的人數(shù)比處于千步的人數(shù)少12人,求
的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在正方體中,作棱錐
,其中點
在側(cè)棱
所在直線上,
,
,
是
的中點.
(1)證明:平面
;
(2)求以
為軸旋轉(zhuǎn)所圍成的幾何體體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“雙十一”期間,某淘寶店主對其商品的上架時間(小時)和銷售量
(件)的關(guān)系作了統(tǒng)計,得到了如下數(shù)據(jù)并研究.
上架時間 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 |
銷售量 | 64 | 138 | 205 | 285 | 360 | 430 |
(1)求表中銷售量的平均數(shù)和中位數(shù);
(2)① 作出散點圖,并判斷變量與
是否線性相關(guān)?若研究的方案是先根據(jù)前5組數(shù)據(jù)求線性回歸方程,再利用第6組數(shù)據(jù)進行檢驗,求線性回歸方程
;
②若根據(jù)①中線性回歸方程得到商品上架12小時的銷售量的預(yù)測值與檢測值不超過3件,則認(rèn)為得到的線性回歸方程是理想的,試問:①中的線性回歸方程是否理想.
附:線性回歸方程中,
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在半徑為1的扇形AOB中(O為原點),.點P(x,y)是
上任意一點,則xy+x+y的最大值為( 。
A. B. 1 C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)命題函數(shù)
的值域為
;命題
,不等式
恒成立,如果命題“
”為真命題,且“
”為假命題,求實數(shù)
的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線的焦點為
,雙曲線
的右焦點為
,過點
的直線與拋物線在第一象限的交點為
,且拋物線在點
處的切線與直線
垂直,則
的最大值為( )
A. B.
C.
D. 2
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