Question

已知函數f（x）=3x³-x+1．
（1）求函數f（x）的單調遞減區(qū)間；
（2）求切于點（1，3）的切線方程；
（3）求函數f（x）在[-1，

1

3

]上的最大值與最小值．

Answer 1

考點：利用導數求閉區(qū)間上函數的最值,利用導數研究函數的單調性,利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：導數的綜合應用

分析：（1）求函數的導數，利用函數的單調性和導數之間的關系即可求函數f（x）的單調遞減區(qū)間；
（2）利用導數的幾何意義即可求切于點（1，3）的切線方程；
（3）根據函數最值和導數之間的關系即可求函數f（x）在[-1，

1

3

]上的最大值與最小值．

解答： 解：（1）函數的導數為f′（x）=9x²-1，
令9x2-1＜0⇒-

1

3

＜x＜

1

3

，遞減區(qū)間為：(-

1

3

，

1

3

)；
（2）k=f′（1）=8，
則切線方程為：y-3=8（x-1），
即8x-y-5=0
（3）當x變化時，y'與y的變化情況如下：

x	[-1，- 1 3 )	- 1 3	(- 1 3 ， 1 3 )	1 3	( 1 3 ，+∞)
y'	+	0	-	0	+
y	↗	極大值	↘	極小值	↗

∴ymax=f(-

1

3

)=

11

9

，而f(-1)=-1，f(

1

3

)=

7

9

，
∴y_min=f（-1）=-1．

點評：本題主要考查函數的切線以及函數的單調性和最值的求解，根據導數的幾何意義以及導數的應用是解決本題的關鍵．