我們知道,對一個量用兩種方法分別算一次,由結(jié)果相同可以構(gòu)造等式,這是一種非常有用的思想方法--“算兩次”(G.Fubini原理),如小學(xué)有列方程解應(yīng)用題,中學(xué)有等積法求高…
請結(jié)合二項式定理,利用等式(1+x)n•(1+x)n=(1+x)2n(n∈N*
證明:
(1)
n
r=0
(
C
r
n
)2=
C
n
2n
;  
(2)
m
r=0
(
C
r
n
C
m-r
n
)=
C
m
2n
分析:(1)利用二項式定理系數(shù)的性質(zhì),求出xn的系數(shù),即可得到結(jié)論.
(2)利用已知關(guān)系式,求出等式兩邊xm的系數(shù),即可得到結(jié)果.
解答:證明:(1)考慮等式(1+x)n•(1+x)n=(1+x)2n,等式左邊xn的系數(shù)是
C
0
n
C
n
n
+
C
1
n
C
n-1
n
+
C
2
n
C
n-2
n
+…+
C
n
n
C
0
n
=(
C
0
n
)2+(
C
1
n
)2+…+(
C
n
n
)2
=
n
r=0
(
C
r
n
)
2
,
等式右邊xn的系數(shù)是
C
n
2n
,根據(jù)對應(yīng)項系數(shù)相等得,
n
r=0
(
C
r
n
)
2
=
C
n
2n
.(5分)
(2)仍考慮等式(1+x)n•(1+x)n=(1+x)2n
等式左邊xm的系數(shù)是
C
0
n
C
m
n
+
C
1
n
C
m-1
n
+
C
2
n
C
m-2
n
+…+
C
m
n
C
0
n
=
m
r=0
(
C
r
n
C
m-r
n
)
,
等式右邊xm的系數(shù)是
C
m
2n
,根據(jù)對應(yīng)項系數(shù)相等得,
m
r=0
(
C
r
n
C
m-r
n
)
=
C
m
2n
.(10分)
點評:本題主要考查二項式定理等基礎(chǔ)知識,考查推理論證能力.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012年江蘇省南通市教研室高考數(shù)學(xué)全真模擬試卷(二)(解析版) 題型:解答題

我們知道,對一個量用兩種方法分別算一次,由結(jié)果相同可以構(gòu)造等式,這是一種非常有用的思想方法--“算兩次”(G.Fubini原理),如小學(xué)有列方程解應(yīng)用題,中學(xué)有等積法求高…
請結(jié)合二項式定理,利用等式(1+x)n•(1+x)n=(1+x)2n(n∈N*
證明:
(1);  
(2)

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