【題目】如圖,是正方形,點在以為直徑的半圓弧上(不與,重合),為線段的中點,現(xiàn)將正方形沿折起,使得平面平面.

1)證明:平面.

2)三棱錐的體積最大時,求二面角的余弦值.

【答案】1)見解析(2

【解析】

1)利用面面垂直的性質定理證得平面,由此證得,根據(jù)圓的幾何性質證得,由此證得平面.

2)判斷出三棱錐的體積最大時點的位置.建立空間直角坐標系,通過平面和平面的法向量,計算出二面角的余弦值.

1)證明:因為平面平面是正方形,

所以平面.

因為平面,所以.

因為點在以為直徑的半圓弧上,所以.

,所以平面.

2)解:顯然,當點位于的中點時,的面積最大,三棱錐的體積也最大.

不妨設,記中點為

為原點,分別以的方向為軸、軸、軸的正方向,

建立如圖所示的空間直角坐標系,

設平面的法向量為,

,得.

設平面的法向量為,

,得

所以.

由圖可知,二面角為銳角,故二面角的余弦值為.

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】設函數(shù)fx)=exax+aaR),其圖象與x軸交于Ax1,0),Bx20)兩點,且x1x2

1)求a的取值范圍;

2)證明:f′()<0f′(x)為函數(shù)fx)的導函數(shù));

3)設點C在函數(shù)yfx)的圖象上,且△ABC為等腰直角三角形,記t,求(a1)(t1)的值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】在平面直角坐標系中,以原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,兩種坐標系中取相同的長度單位.已知直線l的參數(shù)方程為t為參數(shù)),曲線C的極坐標方程為ρ=4sinθ+).

(1)求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標方程;

(2)若直線l與曲線C交于M,N兩點,求△MON的面積.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知橢圓C:過點A,兩個焦點為(-1,0),(1,0)。

(Ⅰ)求橢圓C的方程;

(Ⅱ)E,F是橢圓C上的兩個動點,如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù),證明直線EF的斜率為定值,并求出這個定值。

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】自從新型冠狀病毒爆發(fā)以來,全國范圍內采取了積極的措施進行防控,并及時通報各項數(shù)據(jù)以便公眾了解情況,做好防護.以下是湖南省2020123-31日這9天的新增確診人數(shù).

日期

23

24

25

26

27

28

29

30

31

時間

1

2

3

4

5

6

7

8

9

新增確診人數(shù)

15

19

26

31

43

78

56

55

57

經過醫(yī)學研究,發(fā)現(xiàn)新型冠狀病毒極易傳染,一個病毒的攜帶者在病情發(fā)作之前通常有長達14天的潛伏期,這個期間如果不采取防護措施,則感染者與一位健康者接觸時間超過15秒,就有可能傳染病毒.

1)將123日作為第1天,連續(xù)9天的時間作為變量x,每天新增確診人數(shù)作為變量y,通過回歸分析,得到模型用于對疫情進行分析.對上表的數(shù)據(jù)作初步處理,得到下面的一些統(tǒng)計量的值(部分數(shù)據(jù)已作近似處理):,.根據(jù)相關數(shù)據(jù),求該模型的回歸方程(結果精確到0.1),并依據(jù)該模型預測第10天新增確診人數(shù).

2)如果一位新型冠狀病毒的感染者傳染給他人的概率為0.3,在一次12人的家庭聚餐中,只有一位感染者參加了聚餐,記余下的人員中被感染的人數(shù)為,求最有可能(即概率最大)的值是多少.

附:對于一組數(shù)據(jù),,,其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】眾所周知,大型網絡游戲(下面簡稱網游)的運行必須依托于網絡的基礎上,否則會出現(xiàn)頻繁掉線的情況,進而影響游戲的銷售和推廣,某網游經銷在甲地區(qū)5個位置對兩種類型的網絡(包括電信網通)在相同條件下進行游戲掉線的測試,得到數(shù)據(jù)如下:

位置

類型

A

B

C

D

E

電信

4

3

8

6

12

網通

5

7

9

4

3

1)如果在測試中掉線次數(shù)超過5次,則網絡狀況為糟糕,否則為良好,那么在犯錯誤的概率不超過0.15的前提下,能否說明網絡狀況與網絡的類型有關?

2)若該游戲經銷商要在上述接受測試的電信的5個地區(qū)中任選2個作為游戲推廣,求A,B兩地區(qū)至少選到一個的概率.

參考公式:

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知圓,點,是圓上一動點,點在線段上,點在半徑上,且滿足.

(1)在圓上運動時,求點的軌跡的方程;

(2)設過點的直線與軌跡交于點不在軸上),垂直于的直線交于點,與軸交于點,若,求點橫坐標的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】在平面直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)),在以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸的極坐標系中,點的極坐標為,直線的極坐標方程為

(1)求直線的直角坐標方程與曲線的普通方程;

(2)若是曲線上的動點,為線段的中點,求點到直線的距離的最大值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】某企業(yè)新研發(fā)了一種產品,產品的成本由原料成本及非原料成本組成.每件產品的非原料成本(元)與生產該產品的數(shù)量(千件)有關,經統(tǒng)計得到如下數(shù)據(jù):

根據(jù)以上數(shù)據(jù),繪制了散點圖.

觀察散點圖,兩個變量不具有線性相關關系,現(xiàn)考慮用反比例函數(shù)模型和指數(shù)函數(shù)模型分別對兩個變量的關系進行擬合.已求得用指數(shù)函數(shù)模型擬合的回歸方程為,的相關系數(shù).參考數(shù)據(jù)(其中):

(1)用反比例函數(shù)模型求關于的回歸方程;

(2)用相關系數(shù)判斷上述兩個模型哪一個擬合效果更好(精確到0.01),并用其估計產量為10千件時每件產品的非原料成本;

(3)該企業(yè)采取訂單生產模式(根據(jù)訂單數(shù)量進行生產,即產品全部售出).根據(jù)市場調研數(shù)據(jù),若該產品單價定為100元,則簽訂9千件訂單的概率為0.8,簽訂10千件訂單的概率為0.2;若單價定為90元,則簽訂10千件訂單的概率為0.3,簽訂11千件訂單的概率為0.7.已知每件產品的原料成本為10元,根據(jù)(2)的結果,企業(yè)要想獲得更高利潤,產品單價應選擇100元還是90元,請說明理由.

參考公式:對于一組數(shù)據(jù),,…,,其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為:,相關系數(shù).

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