【題目】如圖，是正方形，點在以為直徑的半圓弧上（不與，重合），為線段的中點，現(xiàn)將正方形沿折起，使得平面平面.

（1）證明：平面.

（2）三棱錐的體積最大時，求二面角的余弦值.

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理證得平面，由此證得，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)證得，由此證得平面.

（2）判斷出三棱錐的體積最大時點的位置.建立空間直角坐標系，通過平面和平面的法向量，計算出二面角的余弦值.

（1）證明：因為平面平面是正方形，

所以平面.

因為平面，所以.

因為點在以為直徑的半圓弧上，所以.

又，所以平面.

（2）解：顯然，當點位于的中點時，的面積最大，三棱錐的體積也最大.

不妨設，記中點為，

以為原點，分別以的方向為軸、軸、軸的正方向，

建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，

設平面的法向量為，

則令，得.

設平面的法向量為，

則令，得，

所以.

由圖可知，二面角為銳角，故二面角的余弦值為.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設函數(shù)f（x）＝ex﹣ax+a（a∈R），其圖象與x軸交于A（x1，0），B（x2，0）兩點，且x1＜x2．

（1）求a的取值范圍；

（2）證明：f′（）＜0（f′（x）為函數(shù)f（x）的導函數(shù)）；

（3）設點C在函數(shù)y＝f（x）的圖象上，且△ABC為等腰直角三角形，記t，求（a﹣1）（t﹣1）的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，兩種坐標系中取相同的長度單位.已知直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），曲線C的極坐標方程為ρ＝4sin（θ+）.

（1）求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標方程；

（2）若直線l與曲線C交于M，N兩點，求△MON的面積.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓C：過點A，兩個焦點為（-1，0），（1，0）。

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）E,F是橢圓C上的兩個動點，如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，證明直線EF的斜率為定值，并求出這個定值。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】自從新型冠狀病毒爆發(fā)以來，全國范圍內(nèi)采取了積極的措施進行防控，并及時通報各項數(shù)據(jù)以便公眾了解情況，做好防護.以下是湖南省2020年1月23日-31日這9天的新增確診人數(shù).

日期

23

24

25

26

27

28

29

30

31

時間

1

2

3

4

5

6

7

8

9

新增確診人數(shù)

15

19

26

31

43

78

56

55

57

經(jīng)過醫(yī)學研究，發(fā)現(xiàn)新型冠狀病毒極易傳染，一個病毒的攜帶者在病情發(fā)作之前通常有長達14天的潛伏期，這個期間如果不采取防護措施，則感染者與一位健康者接觸時間超過15秒，就有可能傳染病毒.

（1）將1月23日作為第1天，連續(xù)9天的時間作為變量x，每天新增確診人數(shù)作為變量y，通過回歸分析，得到模型用于對疫情進行分析.對上表的數(shù)據(jù)作初步處理，得到下面的一些統(tǒng)計量的值（部分數(shù)據(jù)已作近似處理）：，.根據(jù)相關(guān)數(shù)據(jù)，求該模型的回歸方程（結(jié)果精確到0.1），并依據(jù)該模型預測第10天新增確診人數(shù).

（2）如果一位新型冠狀病毒的感染者傳染給他人的概率為0.3，在一次12人的家庭聚餐中，只有一位感染者參加了聚餐，記余下的人員中被感染的人數(shù)為，求最有可能（即概率最大）的值是多少.

附：對于一組數(shù)據(jù)，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】眾所周知，大型網(wǎng)絡游戲（下面簡稱網(wǎng)游）的運行必須依托于網(wǎng)絡的基礎上，否則會出現(xiàn)頻繁掉線的情況，進而影響游戲的銷售和推廣，某網(wǎng)游經(jīng)銷在甲地區(qū)5個位置對兩種類型的網(wǎng)絡（包括“電信”和“網(wǎng)通”）在相同條件下進行游戲掉線的測試，得到數(shù)據(jù)如下：

位置

類型

A

B

C

D

E

電信

4

3

8

6

12

網(wǎng)通

5

7

9

4

3

（1）如果在測試中掉線次數(shù)超過5次，則網(wǎng)絡狀況為“糟糕”，否則為“良好”，那么在犯錯誤的概率不超過0.15的前提下，能否說明網(wǎng)絡狀況與網(wǎng)絡的類型有關(guān)？

（2）若該游戲經(jīng)銷商要在上述接受測試的電信的5個地區(qū)中任選2個作為游戲推廣，求A，B兩地區(qū)至少選到一個的概率．

參考公式：．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知圓，點，是圓上一動點，點在線段上，點在半徑上，且滿足.

（1）當在圓上運動時，求點的軌跡的方程；

（2）設過點的直線與軌跡交于點（不在軸上），垂直于的直線交于點，與軸交于點，若，求點橫坐標的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)），在以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸的極坐標系中，點的極坐標為，直線的極坐標方程為．

（1）求直線的直角坐標方程與曲線的普通方程；

（2）若是曲線上的動點，為線段的中點，求點到直線的距離的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某企業(yè)新研發(fā)了一種產(chǎn)品，產(chǎn)品的成本由原料成本及非原料成本組成.每件產(chǎn)品的非原料成本（元）與生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量（千件）有關(guān)，經(jīng)統(tǒng)計得到如下數(shù)據(jù)：

根據(jù)以上數(shù)據(jù)，繪制了散點圖.

觀察散點圖，兩個變量不具有線性相關(guān)關(guān)系，現(xiàn)考慮用反比例函數(shù)模型和指數(shù)函數(shù)模型分別對兩個變量的關(guān)系進行擬合.已求得用指數(shù)函數(shù)模型擬合的回歸方程為，與的相關(guān)系數(shù).參考數(shù)據(jù)（其中）：

（1）用反比例函數(shù)模型求關(guān)于的回歸方程；

（2）用相關(guān)系數(shù)判斷上述兩個模型哪一個擬合效果更好（精確到0.01），并用其估計產(chǎn)量為10千件時每件產(chǎn)品的非原料成本；

（3）該企業(yè)采取訂單生產(chǎn)模式（根據(jù)訂單數(shù)量進行生產(chǎn)，即產(chǎn)品全部售出）.根據(jù)市場調(diào)研數(shù)據(jù)，若該產(chǎn)品單價定為100元，則簽訂9千件訂單的概率為0.8，簽訂10千件訂單的概率為0.2；若單價定為90元，則簽訂10千件訂單的概率為0.3，簽訂11千件訂單的概率為0.7.已知每件產(chǎn)品的原料成本為10元，根據(jù)（2）的結(jié)果，企業(yè)要想獲得更高利潤，產(chǎn)品單價應選擇100元還是90元，請說明理由.

參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為：，，相關(guān)系數(shù).

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