△ABC中，
AD
=
1
4
AB
，DE∥BC，且邊AC相交于E，△ABC的中線AM與DE相交于N，如圖所示，設(shè)
AB
=
a
，
AC
=
b

（1）試用
a
和
b
表示
DN
．
（2）若|
a
|=4，|
b
|=2，且∠BAC=60°，求
|DN
|．
分析：（1）由于DE∥BC又AM為中線，根據(jù)三角形中位線定理得
DN
=
1
2
DE
，又
AD
=
1
4
AB
從而有：
DN
=
1
8
BC
，再利用向量的減法的三角形法則得到
BC
=
AC
-
AB
即可得到結(jié)論；
（2）由（1）知 
DN
=
1
8
(
b
-
a
)，由于|
a
|=4，|
b
|=2，∠BAC=600根據(jù)向量模的平方等于向量的平方得|
DN
|2，從而求得
|DN
|．
解答：解：（1）∵DE∥BC又AM為中線，
∴
DN
=
1
2
DE
…（1分）
又
AD
=
1
4
AB
，
∴
DE
=
1
4
BC

∴
DN
=
1
8
BC
…（4分）
而
BC
=
AC
-
AB
且
AB
=
a
，
AC
=
b
，
∴
DN
=
1
8
(
b
-
a
)．…（6分）
（2）由（1）知 
DN
=
1
8
(
b
-
a
)
∵|
a
|=4，|
b
|=2，∠BAC=600
∴|
DN
|2=
1
64
(
b
2+
a
2-2
b
•
a
)=
1
64
(4+16-8)=
3
16
…(10分)
∴
|DN
|=
3
4
．
點(diǎn)評：本題考查向量的幾何表示，三角形相似的性質(zhì)，向量的共線定理，向量的模，平面向量基本定理，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在直角三角形ABC中，AD是斜邊BC上的高，有很多大家熟悉的性質(zhì)，例如“AB⊥AC”，勾股定理“|AB|2+|AC|2=|BC|2”和“
1
|AD|2
=
1
|AB|2
+
1
|AC|2
”等，由此聯(lián)想，在三棱錐O-ABC中，若三條側(cè)棱OA，OB，OC兩兩互相垂直，可以推出哪些結(jié)論？至少寫出兩個(gè)結(jié)論．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

 在△ABC中，AD是BC邊上的高，垂足為D點(diǎn)．BE是∠ABC的角平分線，并交AC于E點(diǎn)．若BC=6，CA=7，AB=8．
（1）求DE的長；
（2）求△ABC的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在△ABC中，AD⊥BC，
AD
=
1
5
AB
+
4
5
AC
．
（1）求
|
CD
|
|
DB
|
的值；
（2）設(shè)cosC=
5
5
，且實(shí)數(shù)t滿足|
CB
-t
CA
|≥|
AB
+
AC
|，求t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，已知△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD的中點(diǎn)，BE的延長線交AC于點(diǎn)F，則AF：AC=
1：3
1：3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在Rt△ABC中，AB=1，BC=2，AC=
3
，D在邊BC上，BD=
2
3
，則
AB
•
AD
=
 
．

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