Question

如圖，已知△AOB，∠AOB=，∠BAO=θ，AB=4，D為線段AB的中點．若△AOC是△AOB繞直線AO旋轉而成的．記二面角B-AO-C的大小為．
（Ⅰ） 當平面COD⊥平面AOB時，求θ的值；
（Ⅱ） 當∈[，θ]時，求二面角C-OD-B的余弦值的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）建立間直角坐標系O-xyz，，由求出平面COD的一個法向量，又平面AOB的一個法向量為=（1，0，0），由平面COD⊥平面AOB得•=0，求出θ的值．
（II）由（Ⅰ）得當θ=時，cosα=0；當θ∈（，]時，tanθ≤-，利用向量的數(shù)量積公式將cosα用θ的三角函數(shù)表示，據tanθ≤-，求出cosα的范圍．
解答：解：（Ⅰ） 如圖，以O為原點，在平面OBC內垂直于OB的直線為x軸，OB，OA所在的直線分別為y軸，z軸建立空間直角坐標系O-xyz，
則A （0，0，2），B （0，2，0），
D （0，1，），C （2sinθ，2cosθ，0）．
設=（x，y，z）為，
由得
取z=sinθ，
則=（cosθ，-sinθ，sinθ）．
因為平面AOB的一個法向量為=（1，0，0），
由平面COD⊥平面AOB得•=0，
所以cosθ=0，即θ=． …（6分）
（Ⅱ） 設二面角C-OD-B的大小為α，
由（Ⅰ）得當θ=時，cosα=0；
當θ∈（，]時，
tanθ≤-，
cosα===-，
故-≤cosα＜0．
綜上，二面角C-OD-B的余弦值的取值范圍為[-，0]．  …（13分）
點評：解決二面角的大小問題，一般借助的工具是通過建立空間直角坐標系，將二面角的問題轉化為兩個平面的法向量所成的角的問題，通過向量的數(shù)量積來解決．