Question

如圖，已知△AOB的一個頂點為拋物線y²=2x的頂點O，A、B兩點都在拋物線上，且∠AOB=90°．
（1）證明直線AB必過一定點；
（2）求△AOB面積的最小值．

Answer 1

分析：（1）由題意先設OA所在直線的方程為y=kx（k≠0），由垂直關系得直線OB的方程為y=-

1

k

x，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立方程組求出A點的坐標，B點的坐標，從而得出AB所在直線的方程，化簡并整理即可得出直線過定點P（2，0）．
（2）由于AB所在直線過定點P（2，0），所以可設AB所在直線的方程為x=my+2．將直線的方程代入拋物線的方程消去x并整理得y²-2my-4=0．利用根與系數(shù)的關系及弦長公式即可求出S_△AOB的表達式，最后利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出△AOB的面積取得最小值為4．

解答：證明：（1）設OA所在直線的方程為y=kx（k≠0），則直線OB的方程為y=-

1

k

x，
由

y=kx y2=2x

解得

x=0 y=0

或

x= 2 k2 y= 2 k

即A點的坐標為（

2

k2

，

2

k

）．
同樣由

y=- 1 k x y2=2x

解得B點的坐標為（2k²，-2k）．
∴AB所在直線的方程為y+2k=

2 k +2k

2 k2 -2k2

（x-2k²），
化簡并整理，得（

1

k

-k）y=x-2．
不論實數(shù)k取任何不等于0的實數(shù)，當x=2時，恒有y=0．
故直線過定點P（2，0）．
（2）解　由于AB所在直線過定點P（2，0），所以可設AB所在直線的方程為x=my+2．
由

x=my+2 y2=2x

消去x并整理得y²-2my-4=0．
∴y₁+y₂=2m，y₁y₂=-4．
于是|y₁-y₂|=

(y1-y2)2

=

(y1+y2)2-4y1y2

=

(2m)2+16

=2

m2+4

．
S_△AOB=

1

2

×|OP|×（|y₁|+|y₂|）
=

1

2

|OP|•|y₁-y₂|=

1

2

×2×2

m2+4

=2

m2+4

．
∴當m=0時，△AOB的面積取得最小值為4．

點評：本題考查直線過定點的證明，考查三角形面積的最小值的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意拋物線性質(zhì)的合理運用．