已知常數(shù)a>0,在矩形ABCD中,AB=4,BC=4a,O為AB的中點(diǎn),點(diǎn)E、F、G分別在BC、CD、DA上移動(dòng),且,P為GE與OF的交點(diǎn)(如圖),問是否存在兩個(gè)定點(diǎn),使P到這兩點(diǎn)的距離的和為定值?若存在,求出這兩點(diǎn)的坐標(biāo)及此定值;若不存在,請說明理由。

解:根據(jù)題設(shè)條件,首先求出點(diǎn)P坐標(biāo)滿足的方程,據(jù)此再判斷是否存在兩定點(diǎn),使得點(diǎn)P到定點(diǎn)距離的和為定值,
按題意有A(-2,0),B(2,0),C(2,4a),D(-2,4a),
設(shè),
由此有E(2,4ak),F(xiàn)(2-4k,4a),G(-2,4a-4ak),
直線OF的方程為:2ax+(2k-1)y=0, ①
直線GE的方程為:, ②
從①,②消去參數(shù)k,得點(diǎn)P(x,y)坐標(biāo)滿足方程,
整理得
當(dāng)時(shí),點(diǎn)P的軌跡為圓弧,所以不存在符合題意的兩點(diǎn);
當(dāng)時(shí),點(diǎn)P軌跡為橢圓的一部分,點(diǎn)P到該橢圓焦點(diǎn)的距離的和為定長;
當(dāng)時(shí),點(diǎn)P到橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為定值
當(dāng)時(shí),點(diǎn)P到橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為定值2a。
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知常數(shù)a>0,在矩形ABCD中,AB=4,BC=4a,O為AB的中點(diǎn),點(diǎn)E、F、G分別在BC、CD、DA上移動(dòng),且
BE
BC
=
CF
CD
=
DG
DA
,P為GE與OF的交點(diǎn)(如圖),問是否存在兩個(gè)定點(diǎn),使P到這兩點(diǎn)的距離的和為定值?若存在,求出這兩點(diǎn)的坐標(biāo)及此定值;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知常數(shù)m>0,向量
a
=(0,1),向量
b
=(m,0),經(jīng)過點(diǎn)A(m,0),以λ
a
+
b
為方向向量的直線與經(jīng)過點(diǎn)B(-m,0),以λ
b
-4
a
為方向向量的直線交于點(diǎn)P,其中λ∈R.
(1)求點(diǎn)P的軌跡E;
(2)若m=2
5
,F(xiàn)(4,0),問是否存在實(shí)數(shù)k使得以Q(k,0)為圓心,|QF|為半徑的圓與軌跡E在x軸上方交于M、N兩點(diǎn),并且|MF|+|NF|=3
5
.若存在求出k的值;若不存在,試說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知常數(shù)a>0,在矩形ABCD中,AB=4,BC=4a,O為AB的中點(diǎn),點(diǎn)E、F、G分別在BC、CD、DA上移動(dòng),且
BE
BC
=
CF
CD
=
DG
DA
,P為GE與OF的交點(diǎn),建立如圖坐標(biāo)系,求P點(diǎn)的軌跡方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(07年重慶卷理)(13分)

已知函數(shù)(x>0),在x = 1處取得極值3c,其中a,b,c為常數(shù)。

(1)試確定a,b的值;

(2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(3)若對(duì)任意x>0,不等式恒成立,求c的取值范圍。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2003年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

已知常數(shù)a>0,在矩形ABCD中,AB=4,BC=4a,O為AB的中點(diǎn),點(diǎn)E、F、G分別在BC、CD、DA上移動(dòng),且,P為GE與OF的交點(diǎn)(如圖),問是否存在兩個(gè)定點(diǎn),使P到這兩點(diǎn)的距離的和為定值?若存在,求出這兩點(diǎn)的坐標(biāo)及此定值;若不存在,請說明理由.

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