Question

給定：a_n=log_n+1（n+2）（n∈N^*），定義使a₁•a₂•…•a_k為整數(shù)的數(shù)k（k∈N^*）叫做數(shù)列{a_n}的“企盼數(shù)”，則區(qū)間[1，2013]內所有“企盼數(shù)”的和M=

2026

．

Answer 1

分析：利用a_n=log_n+1（n+2），化簡a₁•a₂•a₃…a_k，得k=2^m-2，給m依次取值，可得區(qū)間[1，2013]內所有企盼數(shù)，然后求和．

解答：解：a_n=log_n+1（n+2），
a₁•a₂•a_k=log₂3•log₃4…log_（k+1）（k+2）=log₂（k+2），
∵a₁•a₂•…•a_k為整數(shù)，
設log₂（k+2）=m（m∈N^*且m＞1），則k+2=2^m，∴k=2^m-2（m∈N^*且m＞1）；
因為2¹¹-2=2046＞2013，
∴區(qū)間[1，2013]內所有企盼數(shù)為2²-2，2³-2，2⁴-2，2¹⁰-2，
其和M=2²-2+2³-2+2⁴-2+…+2¹⁰-2=

4(1-29)

1-2

-2×9=2026．
故答案為2026．

點評：本題考查對數(shù)函數(shù)的運算性質，求出區(qū)間[1，2010]內所有企盼數(shù)為2²-2，2³-2，2⁴-2，2¹⁰-2是解題的關鍵，是基礎題．