Question

若三個數(shù)a，1，c成等差數(shù)列（其中a≠c），且a²，1，c²成等比數(shù)列，則

lim

n→∞

(

a+c

a2+c2

)n的值為

 

．

Answer 1

考點：極限及其運算,等差數(shù)列的性質,等比數(shù)列的性質

專題：計算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由等差中項的概念和等比中項的概念列式求得a，c的值，然后代入數(shù)列極限求得答案．

解答： 解：∵a，1，c成等差數(shù)列，
∴a+c=2  ①
又a²，1，c²成等比數(shù)列，
∴a²c²=1  ②
聯(lián)立①②得：

a=1 c=1

 或

a=1+ 2 c=1- 2

 或

a=1- 2 c=1+ 2

，
∵a≠c，
∴

a=1+ 2 c=1- 2

 或

a=1- 2 c=1+ 2

，
則a+c=2，a2+c2=(1+

2

)2+(1-

2

)2=6．
∴

lim

n→∞

(

a+c

a2+c2

)n=

lim

n→∞

(

2

6

)n=

lim

n→∞

(

1

3

)n=0．
故答案為：0．

點評：本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質，考查了方程組的解法，訓練了數(shù)列極限的求法，是基礎的計算題．