Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x2﹣2x+a（ex﹣1+e﹣x+1）有唯一零點(diǎn)，則a=（ ）
A.﹣
B.
C.
D.1

Answer 1

【答案】C
【解析】解：因?yàn)閒（x）=x2﹣2x+a（ex﹣1+e﹣x+1）=﹣1+（x﹣1）2+a（ex﹣1+ ）=0，
所以函數(shù)f（x）有唯一零點(diǎn)等價(jià)于方程1﹣（x﹣1）2=a（ex﹣1+ ）有唯一解，
等價(jià)于函數(shù)y=1﹣（x﹣1）2的圖象與y=a（ex﹣1+ ）的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)．
①當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=x2﹣2x≥﹣1，此時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn)，矛盾；
②當(dāng)a＜0時(shí)，由于y=1﹣（x﹣1）2在（﹣∞，1）上遞增、在（1，+∞）上遞減，
且y=a（ex﹣1+ ）在（﹣∞，1）上遞增、在（1，+∞）上遞減，
所以函數(shù)y=1﹣（x﹣1）2的圖象的最高點(diǎn)為A（1，1），y=a（ex﹣1+ ）的圖象的最高點(diǎn)為B（1，2a），
由于2a＜0＜1，此時(shí)函數(shù)y=1﹣（x﹣1）2的圖象與y=a（ex﹣1+ ）的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，矛盾；
③當(dāng)a＞0時(shí)，由于y=1﹣（x﹣1）2在（﹣∞，1）上遞增、在（1，+∞）上遞減，
且y=a（ex﹣1+ ）在（﹣∞，1）上遞減、在（1，+∞）上遞增，
所以函數(shù)y=1﹣（x﹣1）2的圖象的最高點(diǎn)為A（1，1），y=a（ex﹣1+ ）的圖象的最低點(diǎn)為B（1，2a），
由題可知點(diǎn)A與點(diǎn)B重合時(shí)滿足條件，即2a=1，即a= ，符合條件；
綜上所述，a= ，
故選：C．
通過轉(zhuǎn)化可知問題等價(jià)于函數(shù)y=1﹣（x﹣1）2的圖象與y=a（ex﹣1+ ）的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)求a的值．分a=0、a＜0、a＞0三種情況，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分析可得結(jié)論．