Question

橢圓中心是原點O，長軸長2a，短軸長2

2

，焦點F（c，0）（c＞0）．直線x=

a2

c

與x軸交于點A，
OF=2FA，過點A的直線與橢圓交于P，Q兩點．
（Ⅰ）求橢圓方程及離心率；
（Ⅱ）若

OP

•

OQ

=

6

7

，求直線PQ的方程；
（Ⅲ）若點M與點P關于x軸對稱，求證：M，F(xiàn)，Q三點共線．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）設橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

2

=1(a＞

2

)．由已知得

a2-c2=2 c=2( a2 c -c).

由此能求出橢圓的方程和離心率．
（Ⅱ）設PQ方程為y=k（x-3）．由方程組

x2 6 + y2 2 =1 y=k(x-3)

，得（3k²+1）x²-18k²x+27k²-6=0，由此利用根的判別式、韋達定理、向量數(shù)量積能求出直線PQ的方程．
（Ⅲ）假設

AP

=λ

AQ

（λ＞1），

AP

=(x1-3，  y1)，  

AQ

=(x2-3，  y2)．由已知條件推導出

FM

=-λ

FQ

．由此能證明M，F(xiàn)，Q三點共線．

解答： （Ⅰ）解：∵橢圓中心是原點O，長軸長2a，短軸長2

2

，焦點F（c，0）（c＞0）．
設橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

2

=1(a＞

2

)．
由已知得

a2-c2=2 c=2( a2 c -c).

解得a=

6

，  c=2…（2分）
∴橢圓的方程為

x2

6

+

y2

2

=1，離心率e=

6

3

…（4分）
（Ⅱ）解：由（1）可得A（3，0）．
設PQ方程為y=k（x-3）．
由方程組

x2 6 + y2 2 =1 y=k(x-3)

，
得（3k²+1）x²-18k²x+27k²-6=0，
依題意△=12（2-3k²）＞0，得-

6

3

＜k＜

6

3

…（5分）
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則x1+x2=

18k2

3k2+1

，①x1x2=

27k2-6

3k2+1

．②…（6分）
由直線PQ的方程得y₁=k（x₁-3），y₂=k（x₂-3）．
于是y1y2=k2(x1-3)(x2-3)=k2[x1x2-3(x1+x2)+9]． ③…（7分）
∵

OP

•

OQ

=

6

7

，∴x1x2+y1y2=

6

7

．    ④…（8分）
由①②③④得4k²=1，從而k=±

1

2

∈(-

6

3

，  

6

3

)．
∴直線PQ的方程為x-2y-3=0或x+2y-3=0…（9分）
（Ⅲ）證明：∵A，P，Q三點共線，∴假設

AP

=λ

AQ

（λ＞1）
∴

AP

=(x1-3，  y1)，  

AQ

=(x2-3，  y2)．
由已知得x₁-3=λ（x₂-3），y₁=λy₂，

x 2 1

6

+

y 2 1

2

=1，

x 2 2

6

+

y 2 2

2

=1，
注意λ＞1，解得x2=

5λ-1

2λ

…（10分）
∵F（2，0），M（x₁，-y₁），
∴

FM

=(x1-2，  -y1)=(λ(x2-3)+1，  -y1)
=(

1-λ

2

，  -y1)=-λ(

λ-1

2λ

，  y2)…（11分）      
而

FQ

=(x2-2，  y2)=(

λ-1

2λ

，  y2)，
∴

FM

=-λ

FQ

．∴M，F(xiàn)，Q三點共線．…（12分）

點評：本題考查橢圓方程及離心率的求法，考查直線方程的求法，考查三點共線的證明，解題時要認真審題，注意向量數(shù)量積的合理運用．