Question

已知橢圓的中心在原點，其中一個焦點為F₁（

3

，0），且該焦點于長軸上較近的端點距離為2-

3

．
（1）示此橢圓的標準方程及離心率；
（2）設(shè)F₂是橢圓另一個焦點，若P是該橢圓上一個動點，求

PF1

•

PF2

的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先設(shè)出橢圓的標準方程，進而根據(jù)焦點坐標確定c，根據(jù)焦點于長軸上較近的端點距離確定a，進而根據(jù)a，b和c的關(guān)系確定b，橢圓方程可得．
（2）設(shè)出點P的坐標，進而可表示出

PF 1

•

PF 2

，進而根據(jù)x的范圍確定

PF 1

•

PF 2

的范圍

解答：解：（1）設(shè)所求的橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
則

c= 3 3 a-c=2-  3 a2=b2+c2

解得a=2，b=1，c=

3

故所求橢圓的方程為

x2

4

+y2=1，離心率e=

c

a

=

3

2

（2）由（1）知F₁（-

3

，0），設(shè)P（x，y），
則

PF 1

•

PF 2

=（-

3

-x，-y）•（

3

-x，-y）=x²+y²-3=

1

4

（3x²-8）
∵x∈[-2，2]，∴0≤x²≤4，
故

PF 1

•

PF 2

∈[-2，1]

點評：本題主要考查了橢圓的應(yīng)用．考查了用待定系數(shù)法求橢圓方程及平面向量的基本計算．