已知橢圓的中心在原點(diǎn),且橢圓過點(diǎn)P(3,2),焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,長軸長是短軸長的3倍,求橢圓的方程.
分析:先設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)形式,再由長軸是短軸長的3倍,結(jié)合過P(3,2),列出關(guān)于a,b的方程組,解此方程組即可求得a或b的值,進(jìn)而可求得橢圓的方程.
解答:解:由題設(shè)可知,橢圓的方程是標(biāo)準(zhǔn)方程.
(1)當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí),設(shè)橢圓方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)

2a=3×2b
9
a2
+
4
b2
=1
,解此方程組得
a2=45
b2=5

此時(shí)橢圓的方程是
x2
45
+
y2
5
=1
;
(2)當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí),設(shè)橢圓方程為
x2
b2
+
y2
a2
=1(a>b>0)

2a=3×2b
9
b2
+
4
a2
=1
,解此方程組得
a2=85
b2=
85
9

此時(shí)所求的橢圓方程為
9x2
85
+
y2
85
=1

綜上,所求橢圓方程為 
x2
45
+
y2
5
=1
9x2
85
+
y2
85
=1
點(diǎn)評(píng):本題主要考查橢圓的基本性質(zhì)的運(yùn)用等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,考查分類討論思想、方程思想.屬于基礎(chǔ)題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,離心率為
2
2
,且橢圓經(jīng)過圓C:x2+y2-4x+2
2
y=0的圓心C.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)直線l過橢圓的焦點(diǎn)且與圓C相切,求直線l的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓的中心在原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,直線y=2x+1與該橢圓相交于P和Q,且OP⊥OQ,|PQ|=
1011
,求橢圓的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓的中心在原點(diǎn),對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸,左焦點(diǎn)為F1(-3,0),右準(zhǔn)線方程為x=
253

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率e;
(2)設(shè)P為橢圓上第一象限的點(diǎn),F(xiàn)2為右焦點(diǎn),若△PF1F2為直角三角形,求△PF1F2的面積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓的中心在原點(diǎn),一個(gè)焦點(diǎn)F1(0,-2
2
),且離心率e滿足:
2
3
,e,
4
3
成等比數(shù)列.
(1)求橢圓方程;
(2)直線y=x+1與橢圓交于點(diǎn)A,B.求△AOB的面積.

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