Question

已知平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F（2，0）的距離比點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離大2，
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)F且斜率為2

2

的直線交軌跡C于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）兩點(diǎn)，P（x₃，y₃）（x₃≥0）為軌跡C上一點(diǎn)，若

OP

=

OA

+λ

OB

，求λ的值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出

(x-2)2+y2

=|x|+2，由此能求出動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程．
（Ⅱ）過點(diǎn)F且斜率為2

2

的直線：y=2

2

（x-2），由

y=2 2 (x-2) y2=8x

，推導(dǎo)出A（1，-2

2

），B（4，4

2

），由P（x₃，2

2x3

），

OP

=

OA

+λ

OB

，能求出λ的值．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），
∵平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F（2，0）的距離比點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離大2，
∴

(x-2)2+y2

=|x|+2，
當(dāng)x≥0時(shí)，整理，得y²=8x，
當(dāng)x＜0時(shí)，整理，得y²=0，
∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為y²=8x，x≥0，或y=0，x＜0．
（Ⅱ）∵過點(diǎn)F且斜率為2

2

的直線：y=2

2

（x-2），
該直線軌跡C于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）兩點(diǎn)，
∴

y=2 2 (x-2) y2=8x

，整理，得x²-5x+4=0，
解得x₁=1，x₂=4，∴A（1，-2

2

），B（4，4

2

），
∵P（x₃，y₃）（x₃≥0）為軌跡C上一點(diǎn)，
∴P（x₃，2

2x3

），
∵

OP

=

OA

+λ

OB

，
∴（x₃，2

2x3

）=（1，-2

2

）+（4λ，4

2

λ）=（1+4λ，-2

2

+4

2

λ），
∴

x3=1+4λ 2 2x3 =-2 2 +4 2 λ

，
整理，得

1+4λ

=-1+2λ，
解得λ=0（舍），或λ=2，
∴λ=2．

點(diǎn)評：本題考查動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的求法，考查滿足條件的實(shí)數(shù)λ的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意兩點(diǎn)間距離公式的合理運(yùn)用．