Question

已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，數(shù)列的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，且，n∈N^*．
（1）證明數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，并寫(xiě)出通項(xiàng)公式；
（2）若對(duì)n∈N^*恒成立，求λ的最小值；
（3）若成等差數(shù)列，求正整數(shù)x，y的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124017969504937/SYS201310251240179695049019_DA/0.png">，且a_n＞0，所以推出a₁=1，；由，知，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由（1）得，，由此能求出λ的最小值．
（3）若成等差數(shù)列，其中x，y為正整數(shù)，則成等差數(shù)列，整理，得2^x=1+2^y-2，由此能求出正整數(shù)x，y的值．
解答：解：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124017969504937/SYS201310251240179695049019_DA/8.png">，
其中S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，T_n是數(shù)列的前n項(xiàng)和，且a_n＞0，
當(dāng)n=1時(shí)，由，
解得a₁=1，…（2分）
當(dāng)n=2時(shí)，由，
解得； …（4分）
由，
知，
兩式相減得，
即，…（5分）
亦即2S_n+1-S_n=2，從而2S_n-S_n-1=2，（n≥2），
再次相減得，又，
所以
所以數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，…（7分）
其通項(xiàng)公式為，n∈N^*．…（8分）
（2）由（1）可得，
，…（10分）
若對(duì)n∈N^*恒成立，
只需=3×=3-對(duì)n∈N^*恒成立，
∵3-＜3對(duì)n∈N^*恒成立，∴λ≥3．
（3）若成等差數(shù)列，其中x，y為正整數(shù)，
則成等差數(shù)列，
整理，得2^x=1+2^y-2，
當(dāng)y＞2時(shí)，等式右邊為大于2的奇數(shù)，等式左邊為偶數(shù)或1，
等式不能成立，
∴滿(mǎn)足條件的正整數(shù)x，y的值為x=1，y=2．
點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的證明和數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查最小值的求法，考查滿(mǎn)足條件的實(shí)數(shù)值的求法．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．