已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}滿(mǎn)足an+12=2an2+anan+1,a2+a4=2a3+4,其中n∈N*
(Ⅰ)求數(shù){an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè)數(shù){bn}的前n項(xiàng)和Tn,令bn=an2,其中n∈N*,試比較
Tn+1+12
4Tn
2log2bn+1+2
2log2bn-1
的大小,并加以證明.
(Ⅰ)因?yàn)閍n+12=2an2+anan+1,即(an+1+an)(2an-an+1)=0
又an>0,所以有2an-an+1=0,所以2an=an+1
所以數(shù)列{an}是公比為2的等比數(shù)列(2分)
由a2+a4=2a3+4得2a1+8a1=8a1+4,解得a1=2
故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n(n∈N*)(4分)
(Ⅱ)因bn=an2=22n=4n,所以b1=4,
bn+1
bn
=4
即數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為4,公比是4的等比數(shù)列
所以Tn=
4
3
(4n-1)(6分)
Tn+1+12
4Tn
=
4n+1+8
4(4n-1)
=1+
3
4n-1

2log2bn+1 +2
2log2bn-1
=
4n+6
4n-1
=1+
7
4n-1

Tn+1+12
4Tn
-
2log2bn+1+2
2log2bn-1
=
3
4n-1
-
7
4n-1
=
4(3n+1-7•4n-1)
(4n-1)(4n-1)

猜想:7•4n-1>3n+1(8分)
①當(dāng)n=1時(shí),7•40=7>3×1+1=4,上面不等式顯然成立;
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),不等式7•4k-1>3k+1成立(9分)
當(dāng)n=k+1時(shí),
7×4k=4×7×4k-1>4(3k+1)=12k+4>3k+4=3(k+1)+1
綜上①②對(duì)任意的n∈N+均有7•4n-1>3n+1(11分)
又4n-1>0,4n-1>0
Tn+1+12
4Tn
-
2log2bn+1 +2
2log2bn-1
<0

所以對(duì)任意的n∈N+均有
Tn+1+12
4Tn
2log2bn+1+2
2log2bn-1
(12分)
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(Ⅱ)設(shè)數(shù){bn}的前n項(xiàng)和Tn,令bn=an2,其中n∈N*,試比較
Tn+1+12
4Tn
2log2bn+1+2
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的大小,并加以證明.

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