Question

已知f（x）是定義在（0，+∞）上的單調(diào)函數(shù)，且對任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）-log₂x]=3，則方程f（x）-f′（x）=2的解所在的區(qū)間是（ ）
A．（0，）
B．（，1）
C．（1，2）
D．（2，3）

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)題意，由單調(diào)函數(shù)的性質(zhì)，可得f（x）-log₂x為定值，可以設(shè)t=f（x）-log₂x，則f（x）=log₂x+t，又由f（t）=3，即log₂t+t=3，解可得t的值，可得f（x）的解析式，對其求導(dǎo)可得f′（x）；將f（x）與f′（x）代入f（x）-f′（x）=2，變形化簡可得log₂x-=0，令h（x）=log₂x-，由二分法分析可得h（x）的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（1，2），結(jié)合函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系，即可得答案．
解答：解：根據(jù)題意，對任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）-log₂x]=3，
又由f（x）是定義在（0，+∞）上的單調(diào)函數(shù)，
則f（x）-log₂x為定值，
設(shè)t=f（x）-log₂x，則f（x）=log₂x+t，
又由f（t）=3，即log₂t+t=3，
解可得，t=2；
則f（x）=log₂x+2，f′（x）=，
將f（x）=log₂x+2，f′（x）=代入f（x）-f′（x）=2，
可得log₂x+2-=2，
即log₂x-=0，
令h（x）=log₂x-，
分析易得h（1）=＜0，h（2）=1-＞0，
則h（x）=log₂x-的零點(diǎn)在（1，2）之間，
則方程log₂x-=0，即f（x）-f′（x）=2的根在（1，2）上，
故選C．
點(diǎn)評：本題考查二分法求函數(shù)的零點(diǎn)與函數(shù)零點(diǎn)與方程根的關(guān)系的應(yīng)用，關(guān)鍵點(diǎn)和難點(diǎn)是求出f（x）的解析式．