Question

已知定義在R上的函數(shù)y=f（x）存在零點(diǎn)，且對(duì)任意m，n∈R都滿足f[mf（m）+f（n）]=f²（m）+n．若關(guān)于x的方程|f[f（x）]-3|=1-log_ax（a＞0，a≠1）恰有三個(gè)不同的根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷,函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：令函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)為m，即f（m）=0，則由對(duì)任意m，n∈R都滿足f[mf（m）+f（n）]=f²（m）+n．可得f[f（x）]=x，進(jìn)而x的方程|f[f（x）]-3|=1-log_ax（a＞0，a≠1）恰有三個(gè)不同的根，可轉(zhuǎn)化為|x-3|=1-log_ax（a＞0，a≠1）恰有三個(gè)不同的根，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)分類討論后，可得答案．

解答： 解：令函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)為m，即f（m）=0，
∵對(duì)任意m，n∈R都滿足f[mf（m）+f（n）]=f²（m）+n．
則f[f（n）]=n恒成立，
即f[f（x）]=x，
若關(guān)于x的方程|f[f（x）]-3|=1-log_ax（a＞0，a≠1）恰有三個(gè)不同的根，
即|x-3|=1-log_ax（a＞0，a≠1）恰有三個(gè)不同的根，
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)y=|x-3|與y=1-log_ax的圖象如下圖所示：

由圖可知，函數(shù)y=|x-3|與y=1-log_ax的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，即關(guān)于x的方程|f[f（x）]-3|=1-log_ax（a＞0，a≠1）恰有兩個(gè)不同的根，不滿足條件；
當(dāng)1＜a＜3時(shí)，函數(shù)y=|x-3|與y=1-log_ax的圖象如下圖所示：

由圖可知，函數(shù)y=|x-3|與y=1-log_ax的圖象有一個(gè)交點(diǎn)，即關(guān)于x的方程|f[f（x）]-3|=1-log_ax（a＞0，a≠1）恰有一個(gè)不同的根，不滿足條件；
當(dāng)a=3時(shí)，函數(shù)y=|x-3|與y=1-log_ax的圖象如下圖所示：

由圖可知，函數(shù)y=|x-3|與y=1-log_ax的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，即關(guān)于x的方程|f[f（x）]-3|=1-log_ax（a＞0，a≠1）恰有兩個(gè)不同的根，不滿足條件；
當(dāng)a＞3時(shí)，函數(shù)y=|x-3|與y=1-log_ax的圖象如下圖所示：

由圖可知，函數(shù)y=|x-3|與y=1-log_ax的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，即關(guān)于x的方程|f[f（x）]-3|=1-log_ax（a＞0，a≠1）恰有三個(gè)不同的根，滿足條件；
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（3，+∞），
故答案為：（3，+∞）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，函數(shù)零點(diǎn)的判定，其中根據(jù)已知確定出f[f（x）]=x，是解答的關(guān)鍵．