已知△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且a+b+c=10，cosC=
7
8
，則S△ABC的最大值為
 
．
考點：余弦定理
專題：解三角形
分析：由cosC的值，求出sinC的值，由a+b+c=10，得到a+b=10-c，利用余弦定理表示出cosC，利用完全平方公式變形后，把a+b=10-c代入整理表示出ab，利用基本不等式得到ab≤（
a+b
2
）2，把a+b=10-c代入，結(jié)合表示出的ab，求出c的范圍，利用三角形面積公式表示出S△ABC，根據(jù)c的范圍求出S△ABC的最大值即可．
解答： 解：∵cosC=
7
8
，C為三角形內(nèi)角，
∴sinC=
1-cos2C
=
15
8
，
∵a+b+c=10，即a+b=10-c，
∴由余弦定理得：cosC=
a2+b2-c2
2ab
=
(a+b)2-2ab-c2
2ab
=
(10-c)2-2ab-c2
2ab
=
7
8
，
整理得：ab=
80-16c
3
，
由基本不等式得：ab≤（
a+b
2
）2=（
10-c
2
）2，即
80-16c
3
≤
(10-c)2
4
，
整理得：3c2+4c-20≥0，
解得：c≥2，
∴S△ABC=
1
2
absinC=
15
16
ab≤
15
16
•（
10-c
2
）2，
顯然當c=2時，S△ABC的最大值為
15
．
故答案為：
15
點評：此題考查了余弦定理，三角形面積公式，以及基本不等式的運用，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a＞0，b＞0，且a+b=3，則
1
a
+
2
b
的最小值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

函數(shù)y=tan（x-
π
3
）（x∈R）的單調(diào)遞增區(qū)間是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)a是正實數(shù)，若函數(shù)y=
x2-6ax+10a2
+
x2+2ax+5a2
（x可取任意實數(shù)）的最小值為10，則a=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若 a 是區(qū)間[-3，0]上的任意一個數(shù)，b是區(qū)間[-2，0]上的任意一個數(shù)，則使原點到直線（a+1）x-（1-b）y+
2
=0的距離不大于1的概率是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若實數(shù)x，y滿足約束條件
x≤2
x-y+2≥0
x+2y+2≥0
，則目標函數(shù)z=2x+y的最大值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊為a，b，c；則下列命題正確的
 

①若ab＞c2；則c＜
π
3

②若a+b＞2c；則c＜
π
3

③若a3+b3=c3；則c＜
π
2

④若（a+b）c＜2ab；則c＞
π
2
⑤若（a2+b2）c2＜2a2b2；則c＞
π
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

函數(shù)f（x）=-2x+ax3，若f′（2）=1，則a=（　�。�
A、4
B、
1
4
C、-4
D、-
1
4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

sin2600°
等于（　�。�
A、±
3
2
B、
3
2
C、-
3
2
D、
1
2

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